В прямоугольном треугольнике ABC угол C = 90 градусов, ВС = 3 см, cos угла B = 0,6. Найдите AB и AC.

В данном прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90 градусов, известна длина катета BC и значение косинуса угла B.

Давайте обозначим стороны треугольника:

• BC = 3 см (катет против угла A),
• AB = c (гипотенуза),
• AC = a (катет против угла B).

Согласно определению косинуса для угла B, мы имеем: [ \cos B = \frac{AC}{AB}. ]

Подставляя известное значение косинуса: [ 0,6 = \frac{AC}{AB} = \frac{a}{c}. ] Таким образом, можно выразить AC через AB: [ AC = 0,6 \cdot AB. ]

Теперь используя теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, получаем: [ AB^2 = AC^2 + BC^2. ] Подставим значение AC: [ AB^2 = (0,6 \cdot AB)^2 + 3^2. ] Раскроем скобки: [ AB^2 = 0,36 \cdot AB^2 + 9. ] Переносим все слагаемые в одну сторону уравнения: [ AB^2 - 0,36 \cdot AB^2 = 9. ] Соберем подобные: [ (1 - 0,36) \cdot AB^2 = 9, ] [ 0,64 \cdot AB^2 = 9. ] Теперь выразим AB^2: [ AB^2 = \frac{9}{0,64} = 14,0625. ] Теперь найдём AB: [ AB = \sqrt{14,0625} \approx 3,75 \, \text{см}. ]

Теперь, зная AB, можем найти AC: [ AC = 0,6 \cdot AB = 0,6 \cdot 3,75 \approx 2,25 \, \text{см}. ]

Таким образом, длины сторон треугольника:

• AB (гипотенуза) ≈ 3,75 см,
• AC (катет) ≈ 2,25 см.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C = 90 градусов, мы можем использовать определение косинуса:

[ \cos B = \frac{AC}{AB} ]

Дано, что ( \cos B = 0,6 ), следовательно:

[ AC = 0,6 \cdot AB ]

Также по теореме Пифагора:

[ AB^2 = AC^2 + BC^2 ]

Подставим ( AC = 0,6 \cdot AB ) и ( BC = 3 ) см:

[ AB^2 = (0,6 \cdot AB)^2 + 3^2 ] [ AB^2 = 0,36 \cdot AB^2 + 9 ]

Перепишем уравнение:

[ AB^2 - 0,36 \cdot AB^2 = 9 ] [ 0,64 \cdot AB^2 = 9 ] [ AB^2 = \frac{9}{0,64} = 14,0625 ] [ AB = \sqrt{14,0625} \approx 3,75 \text{ см} ]

Теперь найдем ( AC ):

[ AC = 0,6 \cdot AB \approx 0,6 \cdot 3,75 \approx 2,25 \text{ см} ]

Таким образом, ( AB \approx 3,75 \text{ см} ) и ( AC \approx 2,25 \text{ см} ).

Для решения задачи обратимся к основным понятиям тригонометрии и геометрии прямоугольного треугольника.

Дано:

• Прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ),
• ( \angle C = 90^\circ ),
• ( BC = 3 ) см (катет),
• ( \cos \angle B = 0.6 ).

Нужно найти ( AB ) (гипотенузу) и ( AC ) (второй катет).

Шаг 1: Связь между косинусом и сторонами треугольника

Косинус угла ( \angle B ) в прямоугольном треугольнике определяется как отношение прилежащего катета к гипотенузе: [ \cos \angle B = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}}. ] В данном случае: [ \cos \angle B = \frac{AC}{AB}. ] Подставим известное значение ( \cos \angle B = 0.6 ): [ 0.6 = \frac{AC}{AB}. ] Отсюда: [ AC = 0.6 \cdot AB. \tag{1} ]

Шаг 2: Теорема Пифагора

В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора: [ AB^2 = AC^2 + BC^2. ] Подставим ( AC = 0.6 \cdot AB ) из уравнения (1): [ AB^2 = (0.6 \cdot AB)^2 + BC^2. ] Упростим: [ AB^2 = 0.36 \cdot AB^2 + BC^2. ] Подставим ( BC = 3 ): [ AB^2 = 0.36 \cdot AB^2 + 3^2. ] [ AB^2 = 0.36 \cdot AB^2 + 9. ] Перенесем ( 0.36 \cdot AB^2 ) влево: [ AB^2 - 0.36 \cdot AB^2 = 9. ] [ 0.64 \cdot AB^2 = 9. ] Разделим обе части уравнения на ( 0.64 ): [ AB^2 = \frac{9}{0.64}. ] [ AB^2 = 14.0625. ] [ AB = \sqrt{14.0625}. ] [ AB = 3.75. \tag{2} ]

Шаг 3: Найдем ( AC )

Из уравнения (1): [ AC = 0.6 \cdot AB. ] Подставим ( AB = 3.75 ): [ AC = 0.6 \cdot 3.75. ] [ AC = 2.25. \tag{3} ]

Ответ:

• Гипотенуза ( AB = 3.75 ) см,
• Катет ( AC = 2.25 ) см.