В ПРЯМОУГОЛЬНОМ треугольнике АВС катет АС равен 4 см ,прекция этого катета к гипотенузе АВ 2 см.Найдите...

Площадь треугольника АВС равна 4 кв. см.

В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен 4 см, а его проекция на гипотенузу AB составляет 2 см. Нужно найти площадь треугольника ABC.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и проекциями.

1. Определение проекции: Проекция катета на гипотенузу — это длина отрезка на гипотенузе, который получен, если опустить перпендикуляр от конца катета на гипотенузу.

2. Теорема о проекциях: Для прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C и гипотенузой AB справедливо следующее соотношение для катетов: [ AC^2 = AB \cdot AD, ] где AD — проекция катета AC на гипотенузу AB.

3. Используем данные: У нас есть AC = 4 см и AD = 2 см (проекция катета AC на гипотенузу AB).

4. Вычисление гипотенузы AB: Подставляем известные значения в формулу теоремы о проекциях: [ 4^2 = AB \cdot 2, ] [ 16 = 2 \cdot AB, ] [ AB = \frac{16}{2} = 8 \text{ см}. ]

5. Нахождение второго катета BC: Теперь используем теорему Пифагора для нахождения второго катета BC: [ AB^2 = AC^2 + BC^2, ] [ 8^2 = 4^2 + BC^2, ] [ 64 = 16 + BC^2, ] [ BC^2 = 64 - 16 = 48, ] [ BC = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}. ]

6. Вычисление площади: Площадь треугольника ABC можно найти по формуле: [ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC, ] [ S = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 4\sqrt{3}, ] [ S = 2 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \text{ квадратных сантиметров}. ]

Таким образом, площадь треугольника ABC равна (8\sqrt{3}) квадратных сантиметров.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулу площади прямоугольного треугольника: S = 0.5 a b, где a и b - катеты треугольника.

Из условия задачи мы знаем, что катет AC равен 4 см, а его проекция на гипотенузу AB равна 2 см. Таким образом, мы можем найти второй катет BC, используя теорему Пифагора: BC^2 = AB^2 - AC^2 = 4^2 - 2^2 = 16 - 4 = 12. Отсюда получаем, что BC = √12 = 2√3 см.

Теперь у нас есть значения обоих катетов треугольника (AC = 4 см, BC = 2√3 см). Подставляем их в формулу для нахождения площади треугольника: S = 0.5 4 2√3 = 4√3 см^2.

Итак, площадь треугольника ABC равна 4√3 квадратных сантиметра.