В прямоугольном треугольнике АВС (∠С=90°) АС=5 см, ВС=5√3 см. Найдите угол В и гипотенузу АВ.

Давайте решим задачу, используя известные свойства прямоугольного треугольника.

1. Найдем гипотенузу АВ:

Для этого используем теорему Пифагора, которая гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В нашем случае:

[ AB^2 = AC^2 + BC^2 ]

Подставим значения катетов:

[ AB^2 = 5^2 + (5\sqrt{3})^2 ] [ AB^2 = 25 + (5\sqrt{3})^2 ] [ AB^2 = 25 + 25 \cdot 3 ] [ AB^2 = 25 + 75 ] [ AB^2 = 100 ]

Теперь извлекаем квадратный корень:

[ AB = \sqrt{100} ] [ AB = 10 \, \text{см} ]

Таким образом, гипотенуза ( AB ) равна 10 см.

1. Найдем угол В:

Для нахождения угла В можно использовать тригонометрические функции. В данном случае удобно воспользоваться тангенсом угла, поскольку мы знаем длины обоих катетов.

[ \tan(\angle B) = \frac{AC}{BC} ] [ \tan(\angle B) = \frac{5}{5\sqrt{3}} ] [ \tan(\angle B) = \frac{1}{\sqrt{3}} ]

Теперь найдем угол, тангенс которого равен ( \frac{1}{\sqrt{3}} ). Это стандартное значение, и оно соответствует углу 30 градусов:

[ \angle B = 30^\circ ]

Таким образом, угол ( B ) равен 30 градусам.

1. Проверим угол А:

Так как сумма углов в треугольнике равна 180°, а в прямоугольном треугольнике один из углов прямой (90°), сумма оставшихся двух углов равна 90°. Следовательно, если ( \angle B = 30^\circ ), то:

[ \angle A = 90^\circ - \angle B ] [ \angle A = 90^\circ - 30^\circ ] [ \angle A = 60^\circ ]

Таким образом, угол ( A ) равен 60 градусам, что также можно проверить с помощью тригонометрических функций.

Итак, мы нашли, что:

• Гипотенуза ( AB ) равна 10 см.
• Угол ( B ) равен 30 градусам.

Для того чтобы найти угол В и гипотенузу АВ в прямоугольном треугольнике АВС, можно воспользоваться теоремой Пифагора и теоремой синусов.

1. Найдем гипотенузу АВ: Используем теорему Пифагора: (АВ)^2 = (АС)^2 + (ВС)^2 (АВ)^2 = 5^2 + (5√3)^2 (АВ)^2 = 25 + 75 (АВ)^2 = 100 АВ = 10 см

2. Найдем угол В: Используем теорему синусов: sin(B) = BC / AB sin(B) = 5√3 / 10 sin(B) = √3 / 2 B = 60°

Таким образом, угол В равен 60 градусов, а гипотенуза АВ равна 10 см.