В прямоугольном треугольнике градусные меры наибольшего и наименьшего внешних углов относятся как 7:5....

Пусть наибольший внешний угол прямоугольного треугольника равен 7x градусов, а наименьший - 5x градусов. Так как сумма всех углов треугольника равна 180 градусов, то у нас получается следующее уравнение: 90 + 7x + 5x = 180. Решив его, найдем x = 6. Тогда наибольший внешний угол будет равен 76 = 42 градуса, наименьший - 56 = 30 градусов. Острые углы треугольника будут равны 90 градусов и 60 градусов.

Давайте решим эту задачу.

В прямоугольном треугольнике один из углов равен (90^\circ), а два других угла — острые. Пусть эти углы равны (\alpha) и (\beta). Поскольку сумма всех углов треугольника равна (180^\circ), имеем:

[ \alpha + \beta = 90^\circ. ]

Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Для угла (\alpha) внешний угол будет равен (180^\circ - \alpha), а для угла (\beta) — (180^\circ - \beta).

По условию задачи, градусные меры наибольшего и наименьшего внешних углов относятся как 7:5. Очевидно, что наибольший внешний угол соответствует наименьшему острому углу, и наоборот. Поэтому мы имеем:

• Наибольший внешний угол: (180^\circ - \beta),
• Наименьший внешний угол: (180^\circ - \alpha).

Тогда по условию:

[ \frac{180^\circ - \beta}{180^\circ - \alpha} = \frac{7}{5}. ]

Теперь подставим (\beta = 90^\circ - \alpha) в это уравнение:

[ \frac{180^\circ - (90^\circ - \alpha)}{180^\circ - \alpha} = \frac{7}{5}, ]

[ \frac{90^\circ + \alpha}{180^\circ - \alpha} = \frac{7}{5}. ]

Решим это уравнение. Применим правило пропорции:

[ 5(90^\circ + \alpha) = 7(180^\circ - \alpha). ]

Раскроем скобки:

[ 450^\circ + 5\alpha = 1260^\circ - 7\alpha. ]

Сложим (7\alpha) с обеих сторон:

[ 450^\circ + 12\alpha = 1260^\circ. ]

Вычтем (450^\circ) из обеих сторон:

[ 12\alpha = 810^\circ. ]

Разделим на 12:

[ \alpha = 67.5^\circ. ]

Теперь найдём (\beta):

[ \beta = 90^\circ - \alpha = 90^\circ - 67.5^\circ = 22.5^\circ. ]

Таким образом, острые углы треугольника равны (67.5^\circ) и (22.5^\circ).

Для решения данной задачи нам необходимо знать следующие свойства прямоугольного треугольника:

1. Сумма углов прямоугольного треугольника равна 180°.
2. Внешний угол треугольника равен сумме двух его противолежащих внутренних углов.

Пусть наибольший внешний угол треугольника равен 7x, а наименьший - 5x. Так как они противолежат острым углам треугольника, то наименьший внутренний угол равен 7x, а острый угол - 5x.

Из свойства суммы углов прямоугольного треугольника мы знаем, что сумма всех углов равна 180°. Острые углы прямоугольного треугольника суммируются в 90°, поэтому у нас получается уравнение: 5x + 7x + 90 = 180.

Решив уравнение, находим x = 6. Подставляя значение x обратно в наши углы, находим, что острый угол равен 5 6 = 30°, а второй острый угол равен 7 6 = 42°.

Итак, острые углы данного прямоугольного треугольника равны 30° и 42°.