В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла, проведена высота, которая делит гипотенузу на...

Дано: один отрезок гипотенузы равен 16 см, другой отрезок равен 9 см.

Пусть катеты треугольника равны a и b, гипотенуза равна c, а высота проведена из вершины прямого угла к гипотенузе равна h.

Так как высота - это проекция гипотенузы на катет, то справедливо утверждение:

a = h, b = c - h.

Из условия задачи получаем два уравнения:

a + b = c, a/b = 16/9.

Решая эту систему уравнений, найдем стороны треугольника:

a = (16c)/(16+9), b = (9c)/(16+9).

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

S = 0.5 a b.

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами прямоугольного треугольника и высоты, опущенной на гипотенузу.

Сначала введём обозначения: пусть ( ABC ) — прямоугольный треугольник с прямым углом ( C ). Высота ( CH ) делит гипотенузу ( AB ) на два отрезка ( AH ) и ( HB ), где ( AH = 16 ) см и ( HB = 9 ) см. По теореме о высоте, опущенной на гипотенузу прямоугольного треугольника, произведение длин отрезков, на которые высота делит гипотенузу, равно квадрату длины высоты, а также каждый из отрезков гипотенузы связан с катетами следующим образом: ( AC^2 = AH \cdot AB ) и ( BC^2 = BH \cdot AB ).

Рассчитаем длину гипотенузы ( AB ): [ AB = AH + HB = 16 + 9 = 25 \text{ см} ]

Теперь найдем длины катетов ( AC ) и ( BC ) через соотношения: [ AC^2 = AH \cdot AB = 16 \cdot 25 = 400 ] [ AC = \sqrt{400} = 20 \text{ см} ]

[ BC^2 = BH \cdot AB = 9 \cdot 25 = 225 ] [ BC = \sqrt{225} = 15 \text{ см} ]

Теперь найдём площадь треугольника ( ABC ). Площадь прямоугольного треугольника можно найти как половину произведения катетов: [ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 15 = 150 \text{ см}^2 ]

Таким образом, стороны треугольника равны 15 см, 20 см и 25 см, а его площадь составляет 150 см².