В прямоугольном треугольнике из вершины угла,равного 60 градусам,проведена биссектриса,длина которой...

Длина катета равна 9√3 см.

Для решения данной задачи мы можем воспользоваться теоремой биссектрисы в прямоугольном треугольнике. Согласно этой теореме, биссектриса угла прямоугольного треугольника делит противоположный катет на отрезки, пропорциональные прилежащим к этому углу катетам.

Пусть длина противоположного катета равна x, тогда длина прилежащего катета равна 2x (так как угол при основании равен 60 градусам). Таким образом, мы можем составить пропорцию:

18/(2x) = (x/2)/x

Решая данную пропорцию, мы найдем значение x, которое и будет искомой длиной катета.

В задачах на применение свойств треугольников и биссектрис важно использовать теоремы, которые связывают углы и стороны треугольника. В данном случае у нас прямоугольный треугольник с углом в 60 градусов. Назовем вершины треугольника ( A, B, C ), где ( \angle A = 90^\circ ), ( \angle B = 60^\circ ) и ( \angle C = 30^\circ ).

Введем обозначения:

• ( AB = c ) — гипотенуза,
• ( AC = b ) — катет, лежащий напротив угла 60 градусов,
• ( BC = a ) — катет, лежащий напротив угла 30 градусов.

Используем свойства прямоугольного треугольника:

1. В прямоугольном треугольнике с углами 30° и 60° гипотенуза в 2 раза больше катета, противолежащего углу 30°. То есть: [ c = 2a ]
2. Катет, лежащий напротив угла 60°, равен произведению катета, лежащего напротив угла 30°, и корня из трёх: [ b = a\sqrt{3} ]

Теперь рассмотрим биссектрису угла ( B ). По теореме о биссектрисе, она делит противоположную сторону ( AC ) на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В нашем случае, биссектриса делит ( AC ) на два отрезка ( AD ) и ( DC ), где ( D ) — точка пересечения биссектрисы с ( AC ).

Пусть ( AD = x ) и ( DC = b - x ). Тогда по свойству биссектрисы: [ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{c}{a} = \frac{2a}{a} = 2 ] Таким образом: [ \frac{x}{b - x} = 2 ] Решим это уравнение: [ x = 2(b - x) ] [ x = 2b - 2x ] [ 3x = 2b ] [ x = \frac{2b}{3} ]

Теперь найдём длину биссектрисы ( BD ) в треугольнике ( ABD ) или ( BCD ). Для этого используем формулу длины биссектрисы в треугольнике: [ BD = \sqrt{AB \cdot BC \left(1 - \frac{AC^2}{(AB + BC)^2}\right)} ]

Подставим наши значения: [ AB = c = 2a ] [ BC = a ] [ AC = b = a\sqrt{3} ]

Тогда: [ BD = 18 ] [ 18 = \sqrt{2a \cdot a \left(1 - \frac{(a\sqrt{3})^2}{(2a + a)^2}\right)} ] [ 18 = \sqrt{2a^2 \left(1 - \frac{3a^2}{9a^2}\right)} ] [ 18 = \sqrt{2a^2 \left(1 - \frac{1}{3}\right)} ] [ 18 = \sqrt{2a^2 \left(\frac{2}{3}\right)} ] [ 18 = \sqrt{\frac{4a^2}{3}} ] [ 18 = \frac{2a}{\sqrt{3}} ] [ 18\sqrt{3} = 2a ] [ a = \frac{18\sqrt{3}}{2} ] [ a = 9\sqrt{3} ]

Теперь найдём длину катета, лежащего напротив угла ( 60^\circ ): [ b = a\sqrt{3} ] [ b = 9\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} ] [ b = 9 \cdot 3 ] [ b = 27 \, \text{см} ]

Таким образом, длина катета, лежащего напротив угла ( 60^\circ ), равна ( 27 \, \text{см} ).