В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 6 см, а его проекция на гипотенузу равна 3 см. Найти...

Для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника, зная длину одного из катетов и его проекцию на гипотенузу, можно воспользоваться теоремой Пифагора.

Обозначим катет, равный 6 см, как a, проекцию катета на гипотенузу, равную 3 см, как b, а гипотенузу как c.

Теорема Пифагора утверждает, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы: a^2 + b^2 = c^2

Подставляя известные значения, получаем: 6^2 + 3^2 = c^2 36 + 9 = c^2 45 = c^2

Извлекая квадратный корень из обеих сторон уравнения, найдем длину гипотенузы: c = √45 c ≈ 6,71 см

Таким образом, гипотенуза прямоугольного треугольника равна примерно 6,71 см.

Применяя теорему Пифагора, найдем гипотенузу: (c^2 = a^2 + b^2), где c - гипотенуза, a и b - катеты. Из условия задачи: (6^2 = 3^2 + b^2), (36 = 9 + b^2), (b^2 = 27), (b = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}) см. Таким образом, гипотенуза треугольника равна (3\sqrt{3}) см.

Для решения задачи рассмотрим прямоугольный треугольник ( \triangle ABC ), где ( \angle C = 90^\circ ), ( AC ) и ( BC ) — катеты, а ( AB ) — гипотенуза. Нам дано, что ( AC = 6 ) см и проекция катета ( AC ) на гипотенузу ( AB ) равна 3 см.

Проекция катета на гипотенузу в прямоугольном треугольнике определяется как произведение длины катета на косинус угла между катетом и гипотенузой. Пусть угол ( \angle CAB ) равен ( \alpha ). Тогда проекция ( AC ) на ( AB ) равна ( AC \cdot \cos(\alpha) ).

По условию задачи: [ AC \cdot \cos(\alpha) = 3. ] Подставив значение ( AC = 6 ), получаем: [ 6 \cdot \cos(\alpha) = 3. ] Отсюда следует: [ \cos(\alpha) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}. ]

Зная, что ( \cos(\alpha) = \frac{1}{2} ), вспоминаем, что в треугольнике это возможно, если ( \alpha = 60^\circ ).

Теперь используем теорему косинусов для нахождения гипотенузы ( AB ): [ AB = \frac{AC}{\cos(\alpha)} = \frac{6}{\frac{1}{2}} = 12. ]

Таким образом, гипотенуза треугольника равна 12 см.