В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла равен 34°. Найдите меньший угол данного треугольника.
В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла равен 34°. Найдите меньший угол данного треугольника.
Давайте решим задачу по шагам, используя свойства прямоугольного треугольника, биссектрисы и высоты.
В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна ( 90^\circ ), то есть: [ \angle A + \angle B = 90^\circ. ]
Высота ( CH ) — это перпендикуляр, опущенный из вершины ( C ) на гипотенузу ( AB ). Следовательно, угол между высотой и гипотенузой равен ( 90^\circ ).
Биссектриса ( CL ) делит угол ( \angle C ) пополам. Так как ( \angle C = 90^\circ ), угол между биссектрисой ( CL ) и катетами ( CA ) и ( CB ) равен ( 45^\circ ).
Указано, что угол между высотой ( CH ) и биссектрисой ( CL ) равен ( 34^\circ ). Соответственно, оставшаяся часть угла ( \angle HCL ) до ( 45^\circ ) (так как ( CL ) делит угол ( \angle C )) составляет: [ 45^\circ - 34^\circ = 11^\circ. ]
Угол ( \angle HCL = 34^\circ ) напрямую связан с острым углом треугольника ( \angle A ) или ( \angle B ). Так как ( CH ) — высота, она образует треугольники ( \triangle ACH ) и ( \triangle BCH ), которые подобны исходному треугольнику ( \triangle ABC ).
В данном случае, меньший угол треугольника ( \angle A ) равен: [ \angle A = 34^\circ. ]
Следовательно, второй острый угол: [ \angle B = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - 34^\circ = 56^\circ. ]
Меньший угол треугольника равен ( \boxed{34^\circ} ).
Давайте обозначим вершины прямоугольного треугольника как ( A ), ( B ) и ( C ), где ( A ) — это вершина прямого угла, а ( B ) и ( C ) — другие две вершины. Угол ( \angle A = 90^\circ ). Высота, проведенная из вершины ( A ) к стороне ( BC ), будет пересекаться с биссектрисой угла ( \angle A ).
Обозначим угол между высотой и биссектрисой как ( \theta = 34^\circ ). Таким образом, если обозначить угол между высотой ( h ) и стороной ( AC ) как ( \alpha ), то угол между биссектрисой ( b ) и стороной ( AC ) будет равен ( \frac{\angle B}{2} ).
Мы знаем, что сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ). Поскольку ( \angle A = 90^\circ ), сумма углов ( \angle B ) и ( \angle C ) равна ( 90^\circ ):
[ \angle B + \angle C = 90^\circ ]
Теперь, зная, что угол между высотой и биссектрисой равен ( 34^\circ ), мы можем записать:
[ \alpha + \frac{\angle B}{2} = 34^\circ ]
Из этого уравнения мы можем выразить ( \alpha ):
[ \alpha = 34^\circ - \frac{\angle B}{2} ]
Также высота из вершины ( A ) образует прямой угол с основанием ( BC ), следовательно:
[ \angle A + \alpha + \frac{\angle B}{2} = 90^\circ ]
Подставим значение ( \angle A ):
[ 90^\circ + \alpha + \frac{\angle B}{2} = 90^\circ ]
Сокращаем ( 90^\circ ):
[ \alpha + \frac{\angle B}{2} = 0^\circ ]
Это уравнение не имеет смысла в нашем контексте, значит, мы ошиблись в выводах. Давайте попробуем другой подход.
Пусть ( \angle B = x ) и ( \angle C = 90^\circ - x ). Тогда угол между высотой и биссектрисой может быть выражен через ( x ):
[ \alpha + \frac{x}{2} = 34^\circ ]
Теперь мы можем выразить ( \alpha ):
[ \alpha = 34^\circ - \frac{x}{2} ]
Теперь подставим это значение в сумму углов:
[ 90^\circ = \alpha + x + (90^\circ - x) ]
Сократим:
[ 90^\circ = 34^\circ - \frac{x}{2} + 90^\circ - x ]
Упростим уравнение:
[ 0 = 34^\circ - \frac{x}{2} - x ]
Перепишем его:
[ \frac{x}{2} + x = 34^\circ \Rightarrow \frac{3x}{2} = 34^\circ \Rightarrow x = \frac{34^\circ \cdot 2}{3} = \frac{68^\circ}{3} \approx 22.67^\circ ]
Теперь найдем меньший угол:
[ \angle C = 90^\circ - x = 90^\circ - \frac{68^\circ}{3} = \frac{270^\circ - 68^\circ}{3} = \frac{202^\circ}{3} \approx 67.33^\circ ]
Таким образом, меньший угол треугольника равен ( x \approx 22.67^\circ ).
Ответ: меньший угол данного треугольника равен примерно ( 22.67^\circ ).
