В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов....

Для решения этой задачи необходимо определить некоторые параметры правильной четырехугольной пирамиды и использовать их для нахождения площади боковой поверхности.

1. Определение элементов пирамиды:

   • Правильная четырехугольная пирамида имеет квадрат в основании.
   • Центр основания совпадает с точкой пересечения диагоналей квадрата.
   • Боковые грани — равные равнобедренные треугольники.

2. Обозначения:

   • ( O ) — центр основания.
   • ( A, B, C, D ) — вершины основания.
   • ( S ) — вершина пирамиды.
   • ( OM ) — расстояние от центра основания до середины стороны основания.
   • ( h ) — высота боковой грани из вершины ( S ) на сторону ( AB ).

3. Известные данные:

   • Угол между боковой гранью и плоскостью основания ( \angle SOM = 60^\circ ).
   • ( OM = 2 ) см.

4. Найдем высоту боковой грани:

   Поскольку ( OM ) — высота равностороннего треугольника ( SOB ) в плоскости боковой грани, можно использовать соотношение для высоты в равнобедренном треугольнике:

   [ h = \frac{OM}{\cos 60^\circ} = \frac{2}{0.5} = 4 \text{ см} ]

5. Найдем сторону основания:

   Используем треугольник ( OAB ), где ( OM ) — медиана, а ( AB ) — сторона основания:

   [ AB = 2 \cdot OM \cdot \tan 60^\circ = 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3} \text{ см} ]

6. Найдем площадь боковой поверхности:

   Боковая поверхность пирамиды — это сумма площадей четырех равнобедренных треугольников. Площадь одного треугольника ( SAB ) можно найти по формуле:

   [ \text{Площадь} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 4 = 8\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

   Умножаем на 4 (по числу боковых граней):

   [ \text{Площадь боковой поверхности} = 4 \cdot 8\sqrt{3} = 32\sqrt{3} \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь боковой поверхности пирамиды составляет ( 32\sqrt{3} ) квадратных сантиметров.

Для нахождения площади боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды сначала найдем высоту пирамиды.

Так как угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 60 градусов, то треугольник, образованный высотой, радиусом основания и линией биссектрисы боковой грани, является равносторонним. Таким образом, в этом треугольнике угол между высотой и боковой гранью равен 30 градусам.

Пользуясь тригонометрическими соотношениями, можно найти высоту пирамиды: h = 2 см tg(30°) = 2 см √3 ≈ 3.46 см

Теперь найдем площадь боковой поверхности пирамиды: S = 1/2 периметр основания h = 1/2 4 стороны 2 см 3.46 см = 4 2 * 3.46 = 27.68 см^2

Итак, площадь боковой поверхности правильной четырехугольной пирамиды равна 27.68 квадратных сантиметров.

Площадь боковой поверхности пирамиды равна S = 6√3 см^2.