В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 60 градусов, длина бокового ребра...

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды необходимо воспользоваться формулой:

V = (1/3) S h,

где V - объем пирамиды, S - площадь основания пирамиды, h - высота пирамиды.

Для начала найдем площадь основания пирамиды. Поскольку у нас правильная четырехугольная пирамида, то основание - квадрат. Площадь квадрата можно найти по формуле:

S = a^2,

где а - длина стороны квадрата. Длина бокового ребра равна 8 см, следовательно, сторона квадрата также равна 8 см.

S = 8^2 = 64 см^2.

Теперь найдем высоту пирамиды. Разделим пирамиду на две равные части плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и середину ребра основания. Таким образом, мы получим две треугольные пирамиды. Угол между боковым ребром и высотой такой пирамиды равен 30 градусов (половина 60 градусов).

Теперь рассмотрим одну из этих треугольных пирамид. Мы имеем прямоугольный треугольник со сторонами 8 см (половина бокового ребра), h (высота пирамиды) и гипотенузой, которая равна стороне основания (8 см). Мы можем найти высоту, используя тригонометрические функции:

sin(30) = h/8, h = 8 sin(30) = 8 0.5 = 4 см.

Теперь можем найти объем пирамиды:

V = (1/3) 64 4 = 85.33 см^3.

Итак, объем правильной четырехугольной пирамиды равен 85.33 см^3.

Для того чтобы найти объем правильной четырехугольной пирамиды, нужно воспользоваться формулой объема пирамиды:

[ V = \frac{1}{3} S_{осн} h, ]

где ( S_{осн} ) — площадь основания пирамиды, а ( h ) — высота пирамиды.

1. Плоский угол при вершине: Плоский угол при вершине пирамиды, равный 60 градусам, — это угол между двумя противоположными боковыми ребрами (например, между двумя смежными треугольными гранями, сходящимися в вершине пирамиды).

2. Определим высоту пирамиды ( h ):

   • Рассмотрим треугольник, образованный высотой пирамиды, высотой боковой грани и апофемой пирамиды. В правильной четырехугольной пирамиде боковые грани — равнобедренные треугольники.
   • Пусть ( l = 8 ) см — длина бокового ребра.
   • Поделим плоский угол пополам, чтобы получить прямоугольный треугольник с гипотенузой 8 см и углом 30 градусов (поскольку плоский угол 60 градусов делится пополам).
   • Высота боковой грани (апофема) будет равна ( l \cdot \cos(30^\circ) = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} ).

3. Определим сторону основания ( a ):

   • В данном прямоугольном треугольнике с углом 30 градусов, катет, лежащий напротив этого угла, равен половине гипотенузы.
   • Таким образом, половина диагонали основания равна ( l \cdot \sin(30^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4 ).
   • Диагональ основания равна 8 см. Используя свойства квадрата, находим сторону основания: ( a = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} ).

4. Найдем площадь основания ( S_{осн} ):

   • Основание пирамиды — квадрат со стороной ( a = 4\sqrt{2} ).
   • Площадь квадрата: ( S_{осн} = a^2 = (4\sqrt{2})^2 = 32 ) квадратных сантиметров.

5. Найдем высоту пирамиды ( h ):

   • В прямоугольном треугольнике, где высота пирамиды ( h ) и апофема ( 4\sqrt{3} ) образуют прямой угол с половиной диагонали основания, используем теорему Пифагора: [ h = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 - 4^2} = \sqrt{48 - 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}. ]

6. Вычислим объем пирамиды: [ V = \frac{1}{3} \times 32 \times 4\sqrt{2} = \frac{128\sqrt{2}}{3}. ]

Ваш ответ ( \frac{85\sqrt{2}}{3} ) не совпадает с корректным расчётом. Правильный объем пирамиды составляет ( \frac{128\sqrt{2}}{3} ) кубических сантиметров.

Объем правильной четырехугольной пирамиды с плоским углом при вершине 60 градусов и длиной бокового ребра 8 см равен 85√2/3 см³.