В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, точка О- центр основания , S- вершина, SO-51, AC-136. Найдите...

Давайте подробно разберём задачу.

Нам дана правильная четырёхугольная пирамида ( SABCD ). В такой пирамиде:

1. Основание ( ABCD ) является квадратом.
2. Точка ( O ) — центр квадрата ( ABCD ).
3. Отрезок ( SO ) — высота пирамиды.
4. Все боковые рёбра ( SA, SB, SC, SD ) равны.

Из условия:

• ( SO = 51 ) — высота пирамиды.
• ( AC = 136 ) — диагональ квадрата-основания.

Нужно найти длину бокового ребра ( SD ).

Шаг 1. Найдём сторону основания ( AB )

Диагональ квадрата ( AC ) выражается через сторону квадрата ( AB ) как: [ AC = AB \cdot \sqrt{2}. ] Подставим ( AC = 136 ) и найдём ( AB ): [ 136 = AB \cdot \sqrt{2}. ] [ AB = \frac{136}{\sqrt{2}} = \frac{136 \cdot \sqrt{2}}{2} = 68\sqrt{2}. ] Таким образом, сторона квадрата ( AB = 68\sqrt{2} ).

Шаг 2. Найдём радиус описанной окружности квадрата

Центр квадрата ( O ) — это точка пересечения диагоналей. Радиус описанной окружности квадрата равен половине длины диагонали: [ R = \frac{AC}{2} = \frac{136}{2} = 68. ] Радиус ( R ) — это расстояние от центра ( O ) до любой вершины основания, например, ( OA ).

Шаг 3. Рассмотрим треугольник ( SOD )

Треугольник ( SOD ) — прямоугольный, так как ( SO ) — высота пирамиды, перпендикулярная плоскости основания. В этом треугольнике:

• ( SO = 51 ) — высота пирамиды,
• ( OD = R = 68 ) — расстояние от центра квадрата до вершины ( D ),
• ( SD ) — боковое ребро (гипотенуза треугольника).

Используем теорему Пифагора: [ SD^2 = SO^2 + OD^2. ] Подставим значения: [ SD^2 = 51^2 + 68^2. ] Вычислим: [ 51^2 = 2601, \quad 68^2 = 4624. ] [ SD^2 = 2601 + 4624 = 7225. ] [ SD = \sqrt{7225} = 85. ]

Ответ:

Длина бокового ребра ( SD ) равна ( 85 ).

Для нахождения длины бокового ребра SD в правильной четырёхугольной пирамиде SABCD, начнем с анализа данной информации.

1. Определение параметров пирамиды:

   • Пирамида SABCD имеет квадратное основание ABCD, где O — центр основания. Поскольку основание является квадратом, точки A, B, C и D находятся на одной плоскости, и их расстояния равны.
   • SO = 51 — это высота пирамиды от вершины S до центра основания O.
   • AC = 136 — это диагональ квадрата ABCD.

2. Нахождение стороны основания: В квадрате диагональ AC можно выразить через сторону квадрата ( a ): [ AC = a\sqrt{2} ] Подставляя значение AC: [ 136 = a\sqrt{2} \ a = \frac{136}{\sqrt{2}} = 68\sqrt{2} ]

3. Нахождение координат точек: Для удобства можно задать координаты точек:

   • ( A(-\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0) )
   • ( B(\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0) )
   • ( C(\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0) )
   • ( D(-\frac{a}{2}, \frac{a}{2}, 0) )
   • ( O(0, 0, 0) ) (центр основания)
   • ( S(0, 0, h) ), где ( h = SO = 51 )

4. Находим длину бокового ребра SD: Чтобы найти длину ребра SD, нужно воспользоваться формулой для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Координаты точек S и D:

   • ( S(0, 0, 51) )
   • ( D(-\frac{68\sqrt{2}}{2}, \frac{68\sqrt{2}}{2}, 0) = (-34\sqrt{2}, 34\sqrt{2}, 0) )

   Теперь мы можем воспользоваться формулой расстояния между точками S и D: [ SD = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} ] Подставляем координаты: [ x_1 = 0, \quad y_1 = 0, \quad z_1 = 51 \ x_2 = -34\sqrt{2}, \quad y_2 = 34\sqrt{2}, \quad z_2 = 0 ]

   Подставим значения в формулу: [ SD = \sqrt{((-34\sqrt{2}) - 0)^2 + ((34\sqrt{2}) - 0)^2 + (0 - 51)^2} \ = \sqrt{(34\sqrt{2})^2 + (34\sqrt{2})^2 + (-51)^2} \ = \sqrt{2 \cdot (34\sqrt{2})^2 + 51^2} \ = \sqrt{2 \cdot 34^2 \cdot 2 + 51^2} \ = \sqrt{4 \cdot 1156 + 2601} \ = \sqrt{4624 + 2601} \ = \sqrt{7225} \ = 85 ]

Таким образом, длина бокового ребра SD равна 85.