В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 4 м, а высота 2 м. Найти угол наклона боковой грани к плоскости основания, площадь полной поверхности пирамиды.
В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 4 м, а высота 2 м. Найти угол наклона боковой грани к плоскости основания, площадь полной поверхности пирамиды.
Для того чтобы найти угол наклона боковой грани к плоскости основания, нам необходимо воспользоваться тригонометрическими функциями. Обозначим угол наклона как α. Тогда, зная высоту h = 2 м и половину длины стороны основания a = 2 м, мы можем составить прямоугольный треугольник, где противолежащим катетом будет h, а гипотенуза - боковая грань пирамиды. Тогда тангенс угла наклона будет равен отношению h к a, то есть tg(α) = h/a = 2/2 = 1. Отсюда находим угол α = arctg(1) = 45°.
Чтобы найти площадь полной поверхности пирамиды, нужно сложить площадь основания и площадь боковой поверхности. Площадь основания равна Sосн = a^2 = 4^2 = 16 кв. м. Площадь боковой поверхности можно найти по формуле Sбок = 0.5 p a l, где p - периметр основания, a - длина стороны основания, l - длина боковой грани. Периметр основания равен p = 4a = 4 4 = 16 м. Длина боковой грани l найдется по теореме Пифагора: l = √(a^2 + h^2) = √(4^2 + 2^2) = √(16 + 4) = √20 м. Тогда Sбок = 0.5 16 4 * √20 = 32√20 кв. м.
Итак, общая площадь поверхности пирамиды равна S = Sосн + Sбок = 16 + 32√20 кв. м.
Чтобы решить задачу, сначала определим несколько ключевых параметров правильной четырёхугольной пирамиды.
Пусть ABCD — основание пирамиды, a S — вершина. Пирамида правильная, значит, её основание — квадрат со стороной 4 метра. Высота пирамиды SO равна 2 метрам, где O — центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата).
Боковая грань, например, SAB, представляет собой равнобедренный треугольник. Ищем угол между боковой гранью и плоскостью основания.
Определим сначала длину диагонали квадрата ABCD: [ d = a\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \, \text{м} ]
Поскольку O — центр квадрата, то диагональ делится на две равные части: [ AO = \frac{d}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \, \text{м} ]
Теперь рассмотрим треугольник SAO. В нём SO — высота пирамиды, AO — полудиагональ квадрата, и мы ищем угол SAO. Используем тангенс угла: [ \tan \angle SAO = \frac{SO}{AO} = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} ]
Следовательно, [ \angle SAO = \arctan \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 35.26^\circ ]
Следовательно, угол наклона боковой грани к плоскости основания равен (35.26^\circ).
Площадь полной поверхности пирамиды состоит из площади основания и площади четырёх боковых граней.
Площадь основания (квадрат со стороной 4 м): [ S_{\text{осн}} = 4^2 = 16 \, \text{м}^2 ]
Теперь найдём площадь одной боковой грани (треугольника SAB). Для этого сначала найдём длину бокового ребра SA.
По теореме Пифагора в треугольнике SAO: [ SA = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{2^2 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{4 + 8} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \, \text{м} ]
Высота треугольника SAB, опущенная из вершины S на середину AB, равна высоте пирамиды SO. Основание треугольника AB равно стороне квадрата, то есть 4 м.
Площадь треугольника SAB: [ S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2\sqrt{3} = 4\sqrt{3} \, \text{м}^2 ]
Поскольку боковых граней четыре, их суммарная площадь: [ S{\text{бок}} = 4 \cdot S{SAB} = 4 \cdot 4\sqrt{3} = 16\sqrt{3} \, \text{м}^2 ]
Теперь суммируем площади основания и боковых граней: [ S{\text{полн}} = S{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 16 + 16\sqrt{3} \, \text{м}^2 ]
Таким образом, площадь полной поверхности пирамиды равна ( 16 + 16\sqrt{3} \, \text{м}^2 ).
