В правильной четырёхугольной призме диагональ равна 6 корень из двух см и наклонение к основанию призмы...

Для решения задачи нам нужно определить объём правильной четырёхугольной призмы, используя данную информацию о её диагонали и угле наклона.

1. Понимание задачи:

   • Правильная четырёхугольная призма имеет квадратное основание.
   • Диагональ призмы наклонена к основанию под углом (45^\circ).
   • Длина диагонали призмы равна (6\sqrt{2}) см.

2. Определение параметров призмы:

   Обозначим:

   • (a) — длина стороны основания призмы (сторона квадрата),
   • (h) — высота призмы.

   Диагональ правильной четырёхугольной призмы соединяет противоположные вершины, проходя через тело призмы. Она образует прямоугольный треугольник с диагональю основания и высотой призмы.

3. Свойства диагонали призмы:

   В треугольнике, образованном диагональю призмы, диагональю основания и высотой, угол между высотой и диагональю призмы равен (45^\circ). Используем это для анализа треугольника:

   [ \cos 45^\circ = \frac{\text{высота}}{\text{диагональ призмы}} = \frac{h}{6\sqrt{2}} ]

   Так как (\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}), получаем:

   [ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{6\sqrt{2}} ]

   Решая это уравнение для (h), имеем:

   [ h = 6 \text{ см} ]

4. Диагональ основания:

   Диагональ основания квадрата (обозначим её (d)) равна:

   [ d = a\sqrt{2} ]

5. Использование треугольника:

   Из прямоугольного треугольника:

   [ d^2 + h^2 = (6\sqrt{2})^2 ]

   Подставляем найденную высоту (h = 6):

   [ (a\sqrt{2})^2 + 6^2 = 72 ]

   [ 2a^2 + 36 = 72 ]

   [ 2a^2 = 36 ]

   [ a^2 = 18 ]

   [ a = 3\sqrt{2} ]

6. Вычисление объёма призмы:

   Объём призмы (V) равен произведению площади основания на высоту:

   [ V = a^2 \cdot h ]

   Подставляем найденные значения:

   [ V = (3\sqrt{2})^2 \cdot 6 = 18 \cdot 6 = 108 \text{ кубических сантиметров} ]

Таким образом, объём правильной четырёхугольной призмы равен (108) кубических сантиметров.

Для нахождения объема правильной четырехугольной призмы необходимо умножить площадь основания на высоту призмы.

Площадь основания можно найти, разделив диагональ пополам и умножив полученную длину на ширину призмы: (a = \frac{6\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}) см

Высоту призмы можно найти, учитывая, что наклонение к основанию призмы под углом 45 градусов и является высотой боковой грани призмы: (h = a \cdot \sin{45^\circ} = 3\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = 3) см

Теперь мы можем найти объем призмы, умножив площадь основания на высоту: (V = a^2 \cdot h = (3\sqrt{2})^2 \cdot 3 = 18 \cdot 3 = 54) см³

Таким образом, объем данной правильной четырехугольной призмы равен 54 кубическим сантиметрам.

Объём правильной четырёхугольной призмы равен 24 кубических сантиметра.