В правильной n-угольной призме сторона основания равна а и высота равна h. Вычислите площадь боковой...

а) Площадь боковой поверхности: 75 см², Полная площадь поверхности: 150 см² б) Площадь боковой поверхности: 96 дм², Полная площадь поверхности: 192 дм² в) Площадь боковой поверхности: 690 см², Полная площадь поверхности: 1035 см² г) Площадь боковой поверхности: 20 м², Полная площадь поверхности: 24 м².

Для решения задачи начнем с формул вычисления площадей боковой и полной поверхностей правильной n-угольной призмы.

Формулы:

1. Площадь боковой поверхности (S_бок): [ Sбок = P{осн} \cdot h ] где ( P_{осн} ) - периметр основания, ( h ) - высота призмы.

2. Площадь полной поверхности (S_полн): [ S_полн = Sбок + 2 \cdot S{осн} ] где ( S_{осн} ) - площадь одного основания.

Периметр основания (P_осн):

В правильной n-угольной призме все стороны основания равны: [ P_{осн} = n \cdot a ]

Площадь основания (S_осн):

Площадь правильного n-угольника со стороной ( a ) может быть найдена по формуле: [ S_{осн} = \frac{n \cdot a^2}{4} \cdot \cot \left( \frac{\pi}{n} \right) ]

Решение для каждого случая:

а) n = 3, a = 10 см, h = 15 см

1. Периметр основания: [ P_{осн} = 3 \cdot 10 = 30 \text{ см} ]

2. Площадь боковой поверхности: [ Sбок = P{осн} \cdot h = 30 \cdot 15 = 450 \text{ см}^2 ]

3. Площадь основания (треугольник): [ S_{осн} = \frac{3 \cdot 10^2}{4} \cdot \cot \left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{300}{4} \cdot \cot \left( 60^\circ \right) = 75 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 43.3 \text{ см}^2 ]

4. Площадь полной поверхности: [ S_полн = Sбок + 2 \cdot S{осн} = 450 + 2 \cdot 43.3 \approx 450 + 86.6 = 536.6 \text{ см}^2 ]

б) n = 4, a = 12 дм, h = 8 дм

1. Периметр основания: [ P_{осн} = 4 \cdot 12 = 48 \text{ дм} ]

2. Площадь боковой поверхности: [ Sбок = P{осн} \cdot h = 48 \cdot 8 = 384 \text{ дм}^2 ]

3. Площадь основания (квадрат): [ S_{осн} = \frac{4 \cdot 12^2}{4} \cdot \cot \left( \frac{\pi}{4} \right) = 144 \text{ дм}^2 ]

4. Площадь полной поверхности: [ S_полн = Sбок + 2 \cdot S{осн} = 384 + 2 \cdot 144 = 384 + 288 = 672 \text{ дм}^2 ]

в) n = 6, a = 23 см, h = 5 дм

1. Периметр основания: [ P_{осн} = 6 \cdot 23 = 138 \text{ см} ]

2. Преобразуем высоту в см: [ h = 5 \text{ дм} = 50 \text{ см} ]

3. Площадь боковой поверхности: [ Sбок = P{осн} \cdot h = 138 \cdot 50 = 6900 \text{ см}^2 ]

4. Площадь основания (шестиугольник): [ S_{осн} = \frac{6 \cdot 23^2}{4} \cdot \cot \left( \frac{\pi}{6} \right) = \frac{6 \cdot 529}{4} \cdot \cot \left( 30^\circ \right) = 794 \cdot \sqrt{3} \approx 1376.2 \text{ см}^2 ]

5. Площадь полной поверхности: [ S_полн = Sбок + 2 \cdot S{осн} = 6900 + 2 \cdot 1376.2 \approx 6900 + 2752.4 = 9652.4 \text{ см}^2 ]

г) n = 5, a = 0.4 м, h = 10 см

1. Периметр основания: [ P_{осн} = 5 \cdot 0.4 = 2 \text{ м} ]

2. Преобразуем высоту в метры: [ h = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м} ]

3. Площадь боковой поверхности: [ Sбок = P{осн} \cdot h = 2 \cdot 0.1 = 0.2 \text{ м}^2 ]

4. Площадь основания (пятиугольник): [ S_{осн} = \frac{5 \cdot 0.4^2}{4} \cdot \cot \left( \frac{\pi}{5} \right) = \frac{5 \cdot 0.16}{4} \cdot \cot \left( 36^\circ \right) = 0.2 \cdot \cot \left( 36^\circ \right) \approx 0.2 \cdot 1.376 = 0.2752 \text{ м}^2 ]

5. Площадь полной поверхности: [ S_полн = Sбок + 2 \cdot S{осн} = 0.2 + 2 \cdot 0.2752 = 0.2 + 0.5504 = 0.7504 \text{ м}^2 ]

Таким образом, мы нашли площади боковых и полных поверхностей правильных призм для всех заданных случаев.

а) Для правильной треугольной призмы с основанием равным 10 см и высотой 15 см, площадь боковой поверхности можно найти по формуле: Sб = n a h / 2, где n - количество сторон основания, а - длина стороны основания, h - высота призмы. Подставляя значения, получаем Sб = 3 10 15 / 2 = 225 см². Площадь полной поверхности призмы равна Sп = Sб + 2 Sосн, где Sосн - площадь основания. Для треугольной призмы Sосн = (a^2 √3) / 4. Подставляя значения, получаем Sосн = (10^2 √3) / 4 ≈ 43,30 см². Тогда Sп = 225 + 2 43,30 ≈ 311,60 см².

б) Для правильной четырехугольной призмы с основанием 12 дм и высотой 8 дм, аналогично находим площадь боковой поверхности: Sб = 4 12 8 / 2 = 192 дм². Площадь основания Sосн = 12^2 = 144 дм². Тогда Sп = 192 + 2 * 144 = 480 дм².

в) Для правильной шестиугольной призмы с основанием 23 см и высотой 5 дм: Sб = 6 23 5 / 2 = 345 см². Sосн = (23^2 3√3) / 4 ≈ 888,67 см². Sп = 345 + 2 888,67 ≈ 2122,34 см².

г) Для правильной пятиугольной призмы с основанием 0,4 м и высотой 10 см: Sб = 5 0,4 10 / 2 = 10 м². Sосн = (0,4^2 5) / 4 = 0,5 м². Sп = 10 + 2 0,5 = 11 м².