В правильной шестиугольной пирамиде с высотой 24 см апофема наклонена к плоскости основания под углом...

Чтобы найти длину стороны основания правильной шестиугольной пирамиды, начнем с анализа геометрии данной фигуры.

1. Определения и обозначения:

   • Обозначим длину стороны основания пирамиды как ( a ).
   • Высота пирамиды ( h = 24 ) см.
   • Апофема ( l ) наклонена под углом ( 45^\circ ) к плоскости основания.

2. Геометрические соотношения: Правильная шестиугольная пирамида имеет шестиугольное основание, состоящее из 6 равнобедренных треугольников, образованных отрезками, соединяющими вершину пирамиды с вершинами основания. Высота пирамиды ( h ) соединяет вершину с центром основания.

3. Нахождение апофемы: Апофема ( l ) образует прямоугольный треугольник с высотой ( h ) и радиусом описанной окружности шестиугольника ( R ). Угол между апофемой и высотой равен ( 45^\circ ).

   В этом треугольнике: [ \tan(45^\circ) = \frac{h}{R} ] Поскольку ( \tan(45^\circ) = 1 ), мы получаем: [ 1 = \frac{24}{R} \implies R = 24 \text{ см} ]

4. Связь радиуса и стороны основания: Радиус описанной окружности правильного шестиугольника ( R ) связан с длиной стороны ( a ) следующим образом: [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ] Подставляя найденное значение радиуса: [ 24 = \frac{a}{\sqrt{3}} \implies a = 24\sqrt{3} ]

5. Ответ: Длина стороны основания правильной шестиугольной пирамиды составляет: [ a = 24\sqrt{3} \approx 41.57 \text{ см} ] Таким образом, длина стороны основания пирамиды равна ( 24\sqrt{3} ) см.

Для решения задачи о правильной шестиугольной пирамиде разберем её геометрию и применим известные геометрические свойства.

Условия задачи:

1. Основание пирамиды — правильный шестиугольник (все стороны равны, все углы между соседними сторонами равны).
2. Высота пирамиды ( h = 24 \, \text{см} ).
3. Апофема пирамиды наклонена к плоскости основания под углом ( 45^\circ ).
4. Требуется найти длину стороны правильного шестиугольника.

Шаг 1. Связь между апофемой, высотой и радиусом описанной окружности основания

Апофема пирамиды — это высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды к середине стороны основания. Она образует прямоугольный треугольник вместе с высотой пирамиды и радиусом описанной окружности основания ( R ) (радиус окружности, которая описана вокруг правильного шестиугольника).

Из условия известно, что апофема наклонена к плоскости основания под углом ( 45^\circ ). Это означает, что угол между апофемой и радиусом окружности основания равен ( 45^\circ ). В таком случае, по тригонометрии, имеем:

[ \tan 45^\circ = 1 = \frac{R}{h}, ] где ( R ) — радиус описанной окружности шестиугольника, а ( h = 24 \, \text{см} ) — высота пирамиды. Отсюда:

[ R = h = 24 \, \text{см}. ]

Шаг 2. Связь радиуса описанной окружности и стороны шестиугольника

Для правильного шестиугольника радиус описанной окружности ( R ) равен его стороне ( a ). Это связано с геометрическими свойствами правильного шестиугольника, который можно разбить на 6 равносторонних треугольников. Следовательно:

[ a = R. ]

Подставляем значение ( R ):

[ a = 24 \, \text{см}. ]

Ответ:

Длина стороны правильного шестиугольника равна 24 см.