в правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 8 см и образует с плоскостью основания угол 30 градусов.Найдите объём и боковую поверхность пирамиды (легче если в письменном виде будет)
в правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 8 см и образует с плоскостью основания угол 30 градусов.Найдите объём и боковую поверхность пирамиды (легче если в письменном виде будет)
Объем правильной треугольной пирамиды равен (1/3) S h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды.
Площадь основания S = (a^2 * sqrt(3)) / 4, где a - длина стороны треугольника основания.
Высота пирамиды h = a * sqrt(3) / 2.
Таким образом, объем пирамиды V = (a^3 * sqrt(3)) / 6.
Боковая поверхность пирамиды равна P = (a * l) / 2, где l - длина бокового ребра.
Для начала найдем высоту треугольной пирамиды. Так как угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30 градусов, то мы можем разделить боковое ребро на две части: одна из них будет равна h (высота), а другая будет равна htg(30°). Таким образом, получаем уравнение: h = 8 tg(30°) = 8 * 1/√3 = 8/√3 = 8√3/3 см.
Теперь можем найти площадь основания треугольной пирамиды. Так как у нас правильная треугольная пирамида, то основание является равносторонним треугольником. Площадь такого треугольника равна (a^2√3)/4, где а - сторона треугольника. Из условия задачи нам известно, что боковое ребро равно 8 см, следовательно, сторона основания также равна 8 см. Таким образом, S = (8^2√3)/4 = 16√3 см^2.
Теперь можем рассчитать объем треугольной пирамиды. Формула для объема пирамиды выглядит следующим образом: V = (S h) / 3, где S - площадь основания, h - высота пирамиды. Подставляем полученные значения: V = (16√3 8√3/3) / 3 = (128 * 3) / 3 = 128 см^3.
Итак, объем треугольной пирамиды равен 128 кубическим сантиметрам, а боковая поверхность пирамиды равна 48√3 квадратных сантиметров.
Для решения данной задачи начнем с анализа геометрических свойств правильной треугольной пирамиды.
В правильной треугольной пирамиде основание — это правильный треугольник, а боковые грани — равнобедренные треугольники. Боковое ребро ( AB ) образует с плоскостью основания угол ( 30^\circ ). Пусть ( S ) — вершина пирамиды, ( ABC ) — основание (правильный треугольник).
Проведем высоту ( SO ) пирамиды, где ( O ) — центр основания (центр правильного треугольника). Тогда ( SO ) — это перпендикуляр к плоскости основания, и угол между ( SO ) и боковым ребром ( SA ) равен ( 30^\circ ).
Из треугольника ( SAO ) имеем: [ \cos 30^\circ = \frac{SO}{SA} ]
Так как ( SA = 8 ) см, то: [ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{SO}{8} ] [ SO = 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} ] [ SO = 4\sqrt{3} \ \text{см} ]
Так как ( O ) — центр правильного треугольника, радиус описанной окружности, равный высоте ( h ) правильного треугольника (от центра к вершине), можно найти через радиус описанной окружности правильного треугольника (( R )):
[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ]
Где ( a ) — сторона правильного треугольника. Также: [ R = \frac{2}{3} h ]
Из этого следует: [ h = \frac{3}{2} \cdot \frac{a}{\sqrt{3}} ] [ h = \frac{a \sqrt{3}}{2} ]
Но ( h ) также является радиусом описанной окружности: [ h = \sqrt{3} \cdot \frac{a}{2} ]
Теперь найдем ( a ):
[ \frac{a\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3} ] [ a\sqrt{3} = 8\sqrt{3} ] [ a = 8 \ \text{см} ]
Площадь правильного треугольника можно найти по формуле: [ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} ]
Подставим ( a = 8 ): [ S = \frac{8^2 \sqrt{3}}{4} ] [ S = \frac{64 \sqrt{3}}{4} ] [ S = 16 \sqrt{3} \ \text{см}^2 ]
Объем пирамиды вычисляется по формуле: [ V = \frac{1}{3} S h ]
Подставим найденные значения: [ V = \frac{1}{3} \cdot 16 \sqrt{3} \cdot 4 \sqrt{3} ] [ V = \frac{1}{3} \cdot 16 \cdot 12 ] [ V = \frac{1}{3} \cdot 192 ] [ V = 64 \ \text{см}^3 ]
Боковая поверхность пирамиды состоит из трех равнобедренных треугольников. Площадь одного такого треугольника можно найти по формуле: [ S_{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l ]
Где ( a ) — основание треугольника, ( l ) — высота боковой грани. Высота ( l ) равна высоте равнобедренного треугольника, боковые стороны которого равны 8 см, а основание 8 см. Найдем её через теорему Пифагора: [ h{\text{бок}} = \sqrt{8^2 - 4^2} ] [ h{\text{бок}} = \sqrt{64 - 16} ] [ h{\text{бок}} = \sqrt{48} ] [ h{\text{бок}} = 4 \sqrt{3} ]
Тогда площадь одного бокового треугольника: [ S{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \sqrt{3} ] [ S{\text{бок}} = 16 \sqrt{3} \ \text{см}^2 ]
Площадь всей боковой поверхности: [ S{\text{бок, общ}} = 3 \cdot 16 \sqrt{3} ] [ S{\text{бок, общ}} = 48 \sqrt{3} \ \text{см}^2 ]
Итак, объём пирамиды составляет ( 64 \ \text{см}^3 ), а площадь боковой поверхности — ( 48 \sqrt{3} \ \text{см}^2 ).
