В правильной треугольной пирамиде боковое ребро равно 8 см и образует с плоскостью основания угол 30...

Объем правильной треугольной пирамиды равен $1/3$ S h, где S - площадь основания, h - высота пирамиды.

Площадь основания S = $a^2\ast sqrt(3$) / 4, где a - длина стороны треугольника основания.

Высота пирамиды h = a * sqrt$3$ / 2.

Таким образом, объем пирамиды V = $a^3\ast sqrt(3$) / 6.

Боковая поверхность пирамиды равна P = $a\ast l$ / 2, где l - длина бокового ребра.

Для начала найдем высоту треугольной пирамиды. Так как угол между боковым ребром и плоскостью основания равен 30 градусов, то мы можем разделить боковое ребро на две части: одна из них будет равна h $высота$, а другая будет равна htg$30°$. Таким образом, получаем уравнение: h = 8 tg$30°$ = 8 * 1/√3 = 8/√3 = 8√3/3 см.

Теперь можем найти площадь основания треугольной пирамиды. Так как у нас правильная треугольная пирамида, то основание является равносторонним треугольником. Площадь такого треугольника равна (a^2√3)/4, где а - сторона треугольника. Из условия задачи нам известно, что боковое ребро равно 8 см, следовательно, сторона основания также равна 8 см. Таким образом, S = (8^2√3)/4 = 16√3 см^2.

Теперь можем рассчитать объем треугольной пирамиды. Формула для объема пирамиды выглядит следующим образом: V = (S h) / 3, где S - площадь основания, h - высота пирамиды. Подставляем полученные значения: V = (16√3 8√3/3) / 3 = $128\ast 3$ / 3 = 128 см^3.

Итак, объем треугольной пирамиды равен 128 кубическим сантиметрам, а боковая поверхность пирамиды равна 48√3 квадратных сантиметров.

Для решения данной задачи начнем с анализа геометрических свойств правильной треугольной пирамиды.

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды

В правильной треугольной пирамиде основание — это правильный треугольник, а боковые грани — равнобедренные треугольники. Боковое ребро $AB$ образует с плоскостью основания угол ${30}^{\circ }$. Пусть $S$ — вершина пирамиды, $ABC$ — основание $правильныйтреугольник$.

Проведем высоту $SO$ пирамиды, где $O$ — центр основания $центрправильноготреугольника$. Тогда $SO$ — это перпендикуляр к плоскости основания, и угол между $SO$ и боковым ребром $SA$ равен ${30}^{\circ }$.

Из треугольника $SAO$ имеем: $\cos {30}^{\circ }=\frac{SO}{SA}$

Так как $SA=8$ см, то: $\cos {30}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$ $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{SO}{8}$ $SO=8\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $SO=4\sqrt{3}\text{см}$

Шаг 2: Найдем сторону основания пирамиды

Так как $O$ — центр правильного треугольника, радиус описанной окружности, равный высоте $h$ правильного треугольника $отцентраквершине$, можно найти через радиус описанной окружности правильного треугольника $(R$):

$R=\frac{a}{\sqrt{3}}$

Где $a$ — сторона правильного треугольника. Также: $R=\frac{2}{3}h$

Из этого следует: $h=\frac{3}{2}\cdot \frac{a}{\sqrt{3}}$ $h=\frac{a\sqrt{3}}{2}$

Но $h$ также является радиусом описанной окружности: $h=\sqrt{3}\cdot \frac{a}{2}$

Теперь найдем $a$:

$\frac{a\sqrt{3}}{2}=4\sqrt{3}$ $a\sqrt{3}=8\sqrt{3}$ $a=8\text{см}$

Шаг 3: Найдем площадь основания

Площадь правильного треугольника можно найти по формуле: $S=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим $a=8$: $S=\frac{8^2\sqrt{3}}{4}$ $S=\frac{64\sqrt{3}}{4}$ $S=16\sqrt{3}{\text{см}}^2$

Шаг 4: Найдем объем пирамиды

Объем пирамиды вычисляется по формуле: $V=\frac{1}{3}Sh$

Подставим найденные значения: $V=\frac{1}{3}\cdot 16\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}$ $V=\frac{1}{3}\cdot 16\cdot 12$ $V=\frac{1}{3}\cdot 192$ $V=64{\text{см}}^3$

Шаг 5: Найдем боковую поверхность пирамиды

Боковая поверхность пирамиды состоит из трех равнобедренных треугольников. Площадь одного такого треугольника можно найти по формуле: $S_{\text{бок}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot l$

Где $a$ — основание треугольника, $l$ — высота боковой грани. Высота $l$ равна высоте равнобедренного треугольника, боковые стороны которого равны 8 см, а основание 8 см. Найдем её через теорему Пифагора: [ h{\text{бок}} = \sqrt{8^2 - 4^2} ] [ h{\text{бок}} = \sqrt{64 - 16} ] [ h{\text{бок}} = \sqrt{48} ] [ h{\text{бок}} = 4 \sqrt{3} ]

Тогда площадь одного бокового треугольника: [ S{\text{бок}} = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 4 \sqrt{3} ] [ S{\text{бок}} = 16 \sqrt{3} \ \text{см}^2 ]

Площадь всей боковой поверхности: [ S{\text{бок, общ}} = 3 \cdot 16 \sqrt{3} ] [ S{\text{бок, общ}} = 48 \sqrt{3} \ \text{см}^2 ]

Итак, объём пирамиды составляет $64{\text{см}}^3$, а площадь боковой поверхности — $48\sqrt{3}{\text{см}}^2$.