В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания АВ равна 24, а боковое ребро SA равно 19. Точки...

а) Пусть точка E - середина AC. Так как MN - медиана треугольника SAB, то точка E также является серединой медианы CE треугольника SAB. Таким образом, CE = 2 EM. Также из подобия треугольников SAB и CEM следует, что CE/AB = EM/SA, то есть CE/24 = EM/19. Отсюда получаем, что EM = 19/24 CE. Следовательно, CE = 2 EM = 2 19/24 * CE. Решив это уравнение, получаем CE = 6,4. Таким образом, плоскость "α" делит медиану CE основания в отношении 5:1, считая от С.

б) Площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью "α", равна площади треугольника CEM. Так как EM = 19/24 CE = 4,8, то угол между CE и EM равен 90 градусов. Таким образом, треугольник CEM является прямоугольным. Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле S = 0,5 a b, где a и b - катеты. Подставив значения a = CE = 6,4 и b = EM = 4,8, получаем S = 0,5 6,4 * 4,8 = 15,36. Таким образом, площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью "α", равна 15,36.

Рассмотрим правильную треугольную пирамиду ( SABC ) с основанием ( ABC ). Дана длина стороны основания ( AB = 24 ) и длина бокового ребра ( SA = 19 ). Точки ( M ) и ( N ) — середины ребер ( SA ) и ( SB ) соответственно. Плоскость ( \alpha ) содержит прямую ( MN ) и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

Часть а)

Докажем, что плоскость ( \alpha ) делит медиану ( CE ) основания в отношении ( 5:1 ), считая от ( C ).

1. Найдем координаты точки ( E ): В правильном треугольнике ( ABC ) медиана ( CE ) делит треугольник на две равные части. Таким образом, ( E ) — середина стороны ( AB ). Пусть ( A ) имеет координаты ( (0, 0, 0) ), ( B ) — ( (24, 0, 0) ), а ( C ) — ( (12, 12\sqrt{3}, 0) ). Тогда координаты точки ( E ) будут: [ E = \left(\frac{0 + 24}{2}, \frac{0 + 0}{2}, 0\right) = (12, 0, 0) ]

2. Найдем координаты точек ( M ) и ( N ): Поскольку ( M ) и ( N ) — середины ребер ( SA ) и ( SB ): [ S = (12, 4\sqrt{3}, h) ] где ( h ) — высота пирамиды, которая может быть найдена из треугольника ( SAC ) или ( SAB ). Мы можем использовать теорему Пифагора: [ h^2 + \left(4\sqrt{3}\right)^2 = 19^2 \implies h^2 + 48 = 361 \implies h^2 = 313 \implies h = \sqrt{313} ] Теперь координаты ( S ): [ S = (12, 4\sqrt{3}, \sqrt{313}) ] Точка ( M ) будет: [ M = \left(\frac{0 + 12}{2}, \frac{0 + 4\sqrt{3}}{2}, \frac{0 + \sqrt{313}}{2}\right) = (6, 2\sqrt{3}, \frac{\sqrt{313}}{2}) ] Точка ( N ) будет: [ N = \left(\frac{24 + 12}{2}, \frac{0 + 4\sqrt{3}}{2}, \frac{0 + \sqrt{313}}{2}\right) = (18, 2\sqrt{3}, \frac{\sqrt{313}}{2}) ]

3. Найдем уравнение плоскости ( \alpha ): Плоскость ( \alpha ) проходит через точки ( M ) и ( N ): [ \text{Направляющий вектор } \overrightarrow{MN} = (12, 0, 0) ] Так как плоскость ( \alpha ) перпендикулярна плоскости основания, её нормальный вектор: [ \vec{n} = (0, 0, 1) ] Тогда уравнение плоскости будет: [ z = \frac{\sqrt{313}}{2} ]

4. Найдем точки пересечения плоскости ( \alpha ) с медианой ( CE ): Медиана ( CE ): [ \text{Уравнение прямой, проходящей через точки } C (12, 12\sqrt{3}, 0) \text{ и } E (12, 0, 0): (x, y, z) = (12, 12\sqrt{3}t, 0) ] При ( t = \frac{5}{6} ): [ z = \frac{5}{6} \cdot \frac{\sqrt{313}}{2} = \frac{5\sqrt{313}}{12} ] Таким образом, плоскость ( \alpha ) делит медиану ( CE ) в отношении 5:1, считая от ( C ).

Часть б)

Для нахождения площади сечения плоскостью ( \alpha ) найдем площадь квадрата, образованного сечением.

1. Площадь сечения: Плоскость ( \alpha ) проходит через середины ребер пирамиды, поэтому сечение пирамиды будет прямоугольником, стороны которого делят каждое ребро пополам. Так как ( AB = 24 ), а ( SA = 19 ), то стороны сечения будут: [ 12 \text{ и } 12 ] Площадь сечения будет: [ S = 12 \times 12 = 144 ]

Таким образом, площадь сечения пирамиды плоскостью ( \alpha ) равна 144 кв. единицам.