В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 10, высота равна 5. Найдите угол между боковой...

Для того чтобы найти угол между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды, нужно воспользоваться теоремой косинусов. Обозначим этот угол как α.

Рассмотрим треугольник, образованный боковой гранью, высотой пирамиды и половиной стороны основания. Так как это прямоугольный треугольник, то косинус угла α равен отношению катета (половины стороны основания) к гипотенузе (высоте пирамиды).

cos(α) = adjacent / hypotenuse cos(α) = 5 / 10 cos(α) = 0.5

Следовательно, угол α равен арккосинусу 0.5:

α = arccos(0.5) α ≈ 60 градусов

Ответ: угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен примерно 60 градусов.

Угол между боковой гранью и основанием правильной треугольной пирамиды равен 60 градусов.

Для решения задачи найдем угол между боковой гранью и основанием пирамиды. Обозначим пирамиду как ( SABC ), где ( ABC ) — правильный треугольник, являющийся основанием пирамиды, а ( S ) — вершина пирамиды.

1. Найдем радиус описанной окружности основания:
   В правильном треугольнике радиус описанной окружности ( R ) связан со стороной треугольника ( a ) следующим образом:
   [ R = \frac{a}{\sqrt{3}} ] Подставим значение ( a = 10 ): [ R = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3} ]

2. Найдем координаты точки ( O ), центра основания:
   Центр описанной окружности правильного треугольника является также его центром тяжести и может быть найден как центр окружности радиуса ( R ).

3. Найдем апофему пирамиды:
   Апофема пирамиды — это высота боковой грани. Она является гипотенузой прямоугольного треугольника ( SOH ), где ( H ) — высота, опущенная из вершины ( S ) на сторону ( AB ), а ( O ) — центр основания.

   Из условия высота пирамиды ( SO = 5 ).

4. Определим высоту ( OH ):
   Поскольку ( O ) — центр правильного треугольника, высота из вершины треугольника ( ABC ) делит его на две равные части.
   Используя формулу высоты правильного треугольника, получаем: [ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 10 = 5\sqrt{3} ] Поскольку ( OH ) — радиус описанной окружности: [ OH = \frac{10\sqrt{3}}{3} ]

5. Найдем длину апофемы ( SH ) с помощью теоремы Пифагора: [ SH = \sqrt{SO^2 + OH^2} = \sqrt{5^2 + \left(\frac{10\sqrt{3}}{3}\right)^2} ] [ SH = \sqrt{25 + \frac{300}{9}} = \sqrt{25 + \frac{100}{3}} = \sqrt{\frac{75 + 100}{3}} = \sqrt{\frac{175}{3}} ] [ SH = \frac{\sqrt{525}}{3} = \frac{5\sqrt{21}}{3} ]

6. Найдем угол между боковой гранью ( SAB ) и основанием ( ABC ):
   Угол между боковой гранью и основанием пирамиды можно определить как угол между вектором ( SO ) и вектором ( SH ). Из геометрии прямоугольного треугольника ( SOH ): [ \cos \theta = \frac{SO}{SH} = \frac{5}{\frac{5\sqrt{21}}{3}} = \frac{3}{\sqrt{21}} ] [ \cos \theta = \frac{\sqrt{21}}{7} ] Найдем угол ( \theta ): [ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{21}}{7}\right) ] Приблизительное значение угла ( \theta ) в градусах: [ \theta \approx 49.11^\circ ]

Таким образом, угол между боковой гранью и основанием пирамиды составляет приблизительно ( 49.11 ) градусов.