В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 боковое ребро в 2 раза больше ребра основания. Точки О и Р...

К сожалению, я не могу предоставить рисунок, но дам максимально подробное объяснение задачи. Давайте разберем её шаг за шагом.

Анализ задачи

1. Дано:
   • АВСА₁В₁С₁ — правильная треугольная призма, то есть в основании призмы лежит правильный треугольник ABC.
   • Боковое ребро ( AA_1 ) в 2 раза больше ребра основания ( AB ).
   • Точка ( O ) — середина бокового ребра ( AA_1 ).
   • Точка ( P ) — середина ребра ( BC ).
   • Нужно определить, является ли угол между прямой ( OP ) и плоскостью основания ( ABC ) равным ( 45^\circ ).

Решение

1. Координаты точек

Для удобства решения задачи расположим треугольную призму в трёхмерной системе координат.

• Пусть вершины основания ( ABC ) лежат в плоскости ( z = 0 ), а сторона треугольника ( AB = a ) (ребро основания).
• Тогда координаты точек можно задать следующим образом:
  • ( A(0, 0, 0) ),
  • ( B(a, 0, 0) ),
  • ( C\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 0\right) ) (координаты точки ( C ) определены из свойств правильного треугольника).
• Боковые рёбра ( AA_1, BB_1, CC_1 ) перпендикулярны основанию и имеют длину ( 2a ), так что:
  • ( A_1(0, 0, 2a) ),
  • ( B_1(a, 0, 2a) ),
  • ( C_1\left(\frac{a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}, 2a\right) ).

2. Координаты точек ( O ) и ( P )

• Точка ( O ) — середина ребра ( AA_1 ), то есть: [ O = \left( \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 0}{2}, \frac{0 + 2a}{2} \right) = (0, 0, a). ]
• Точка ( P ) — середина ребра ( BC ), то есть: [ P = \left( \frac{a + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{a\sqrt{3}}{2}}{2}, \frac{0 + 0}{2} \right) = \left(\frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, 0\right). ]

3. Вектор ( OP )

• Найдём направляющий вектор ( \overrightarrow{OP} ): [ \overrightarrow{OP} = P - O = \left(\frac{3a}{4} - 0, \frac{a\sqrt{3}}{4} - 0, 0 - a\right) = \left(\frac{3a}{4}, \frac{a\sqrt{3}}{4}, -a\right). ]

4. Угол между ( OP ) и плоскостью ( ABC )

• Угол между прямой ( OP ) и плоскостью ( ABC ) равен дополнительному углу к углу между вектором ( \overrightarrow{OP} ) и нормалью к плоскости ( ABC ).

• Нормаль к плоскости ( ABC ) (так как ( ABC ) лежит в плоскости ( z = 0 )) направлена вдоль оси ( z ). Её вектор: [ \vec{n} = (0, 0, 1). ]

• Косинус угла ( \varphi ) между ( \overrightarrow{OP} ) и ( \vec{n} ) находится по формуле: [ \cos \varphi = \frac{\overrightarrow{OP} \cdot \vec{n}}{|\overrightarrow{OP}| \cdot |\vec{n}|}. ]

• Скалярное произведение ( \overrightarrow{OP} \cdot \vec{n} ): [ \overrightarrow{OP} \cdot \vec{n} = \frac{3a}{4} \cdot 0 + \frac{a\sqrt{3}}{4} \cdot 0 + (-a) \cdot 1 = -a. ]

• Длина ( |\overrightarrow{OP}| ): [ |\overrightarrow{OP}| = \sqrt{\left(\frac{3a}{4}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{4}\right)^2 + (-a)^2}. ] Упростим: [ |\overrightarrow{OP}| = \sqrt{\frac{9a^2}{16} + \frac{3a^2}{16} + a^2} = \sqrt{\frac{9a^2 + 3a^2 + 16a^2}{16}} = \sqrt{\frac{28a^2}{16}} = \frac{\sqrt{7}a}{2}. ]

• Длина ( |\vec{n}| ): [ |\vec{n}| = 1. ]

• Подставляем в формулу для ( \cos \varphi ): [ \cos \varphi = \frac{-a}{\frac{\sqrt{7}a}{2} \cdot 1} = \frac{-2}{\sqrt{7}}. ]

• Угол ( \varphi ) такой, что ( \cos \varphi = -\frac{2}{\sqrt{7}} ). Этот угол — угол между ( \overrightarrow{OP} ) и нормалью ( \vec{n} ).

• Угол между ( \overrightarrow{OP} ) и плоскостью ( ABC ) равен: [ \theta = 90^\circ - \varphi. ]

Чтобы ( \theta = 45^\circ ), ( \varphi ) должно быть ( 45^\circ ), но из вычислений видно, что это не так. Значит, утверждение неверно.

Ответ:

Градусная мера угла между ( OP ) и плоскостью ( ABC ) не равна ( 45^\circ ). Утверждение задачи неверно.

Чтобы ответить на ваш вопрос, давайте сначала визуализируем правильную треугольную призму и обозначим основные элементы.

Шаг 1: Построение правильной треугольной призмы

1. Построение основания:

   • Пусть ABC - правильный треугольник с равными сторонами длины ( a ).
   • Поскольку призма правильная, все боковые ребра будут перпендикулярны плоскости основания.

2. Высота призмы:

   • Пусть боковые ребра, например, ( AA_1 ), ( BB_1 ), ( CC_1 ) равны ( 2a ) (в два раза больше ребра основания).

Шаг 2: Определение координат точек

• Выберем систему координат:

  • ( A(0, 0, 0) )
  • ( B(a, 0, 0) )
  • ( C\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a, 0\right) )
  • ( A_1(0, 0, 2a) )
  • ( B_1(a, 0, 2a) )
  • ( C_1\left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a, 2a\right) )

• Середины отрезков:

  • Точка ( O ) (середина ( AA_1 )): ( O\left(0, 0, a\right) )
  • Точка ( P ) (середина ( BC )): [ P\left(\frac{a + \frac{a}{2}}{2}, \frac{0 + \frac{\sqrt{3}}{2}a}{2}, 0\right) = P\left(\frac{3a}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}a, 0\right) ]

Шаг 3: Векторное представление

• Вектор ( OP ): [ OP = P - O = \left(\frac{3a}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}a, 0\right) - \left(0, 0, a\right) = \left(\frac{3a}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}a, -a\right) ]

Шаг 4: Нахождение нормали к плоскости ABC

Плоскость ABC, содержащая треугольник, имеет нормальный вектор, который можно найти, используя векторы ( AB ) и ( AC ):

• Вектор ( AB = B - A = (a, 0, 0) )
• Вектор ( AC = C - A = \left(\frac{a}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}a, 0\right) )

Нормальный вектор ( n ) можно получить с помощью векторного произведения: [ n = AB \times AC = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ a & 0 & 0 \ \frac{a}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}a & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a) = \left(0, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}a^2\right) ]

Шаг 5: Угол между векторами

Теперь найдем угол между вектором ( OP ) и нормалью к плоскости ( ABC ):

1. Вектор ( OP ) имеет координаты ( \left(\frac{3a}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}a, -a\right) ).
2. Нормальный вектор ( n ) имеет координаты ( (0, 0, \frac{\sqrt{3}}{2}a^2) ).

Используем формулу для косинуса угла между двумя векторами: [ \cos \theta = \frac{OP \cdot n}{|OP| |n|} ] где [ OP \cdot n = 0 + 0 - a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 = -\frac{\sqrt{3}}{2}a^3 ] [ |OP| = \sqrt{\left(\frac{3a}{4}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}a\right)^2 + (-a)^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{16} + \frac{3a^2}{16} + a^2} = \sqrt{\frac{16a^2}{16}} = a ] [ |n| = \frac{\sqrt{3}}{2}a^2 ]

Подставим в формулу: [ \cos \theta = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}a^3}{a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a^2} = -1 ]

Таким образом, угол между вектором ( OP ) и нормалью равен 90 градусов. Это означает, что угол между вектором ( OP ) и плоскостью ( ABC ) равен 45 градусам, так как угол между вектором и нормалью равен 90 градусам.

Ответ

Таким образом, градусная мера угла между ( OР ) и плоскостью ( ABC ) равна 45 градусам.