В правильной треугольной призме длины всех ребер равны 2 см. Найдите площадь сечения, проведенного через...

Площадь сечения равна 1 кв.см.

Для решения задачи нам нужно сначала понять геометрическое расположение всех элементов в правильной треугольной призме и затем найти площадь указанного сечения.

1. Определим основные параметры правильной треугольной призмы:

   • Все ребра призмы имеют длину 2 см.
   • Основание призмы — правильный треугольник с длиной стороны 2 см.
   • Высота боковых граней также равна 2 см, так как они равны длине боковых ребер.

2. Рассмотрим треугольник основания:

   • В правильном треугольнике со стороной 2 см все стороны равны.
   • Высота такого треугольника проводится из вершины к середине противоположной стороны и делит его на два равных прямоугольных треугольника.
   • Высота (h) треугольника основания находится по формуле: [ h = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \approx 1.732 \text{ см} ]

3. Определим координаты точек и плоскость сечения:

   • Пусть (A, B, C) — вершины треугольника основания, и (A', B', C') — вершины верхнего основания призмы.
   • Сечение проведено через боковое ребро, например, (AA'), и середину противоположной стороны основания, то есть точку (M), середину стороны (BC).

4. Найдем координаты точек:

   • Вершины треугольника основания можно расположить в координатной системе:
     • (A(0, 0, 0))
     • (B(2, 0, 0))
     • (C(1, \sqrt{3}, 0))
   • Вершины верхнего основания будут:
     • (A'(0, 0, 2))
     • (B'(2, 0, 2))
     • (C'(1, \sqrt{3}, 2))
   • Точка (M) — середина стороны (BC): [ M \left(\frac{1+2}{2}, \frac{\sqrt{3}+0}{2}, 0\right) = M\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) ]

5. Определим плоскость сечения:

   • Сечение пройдет через точки (A(0, 0, 0)), (M\left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)), и (A'(0, 0, 2)).

6. Найдем площадь сечения:

   • Сечение представляет собой треугольник (AMA').
   • Для нахождения площади треугольника используем формулу площади треугольника через координаты: [ S = \frac{1}{2} \left|\vec{AM} \times \vec{AA'}\right| ]
   • Векторы: [ \vec{AM} = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right) ] [ \vec{AA'} = (0, 0, 2) ]
   • Векторное произведение: [ \vec{AM} \times \vec{AA'} = \left|\begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \ \frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \ 0 & 0 & 2 \end{matrix}\right| = \left(2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 2 \times \frac{3}{2}, 0\right) = \left(\sqrt{3}, -3, 0\right) ]
   • Найдем длину вектора: [ \left|\vec{AM} \times \vec{AA'}\right| = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + (-3)^2 + 0^2} = \sqrt{3 + 9} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} ]
   • Площадь треугольника: [ S = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \approx 1.732 \text{ кв.см} ]

Таким образом, площадь сечения, проведенного через боковое ребро и середину противолежащей стороны основания, составляет (\sqrt{3}) квадратных сантиметров.

Для решения данной задачи нам необходимо выяснить, какие фигуры образуются при проведении сечения через боковое ребро и середину противолежащей стороны основания.

Поскольку у нас имеется правильная треугольная призма, то сечение будет параллелограммом. Для нахождения площади параллелограмма, проведенного через боковое ребро и середину противолежащей стороны, нам необходимо знать длину основания и высоту данного параллелограмма.

Дано, что длина всех ребер призмы равна 2 см. Так как это правильная треугольная призма, то высота равна (\sqrt{3}) умножить на половину длины ребра (расстояние от вершины треугольника до середины противолежащей стороны основания). Таким образом, высота равна (\sqrt{3}) см.

Теперь мы можем найти площадь параллелограмма, применив формулу (S = a \cdot h), где (a) - длина основания (2 см), (h) - высота ( (\sqrt{3}) см).

(S = 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}) квадратные сантиметры.

Итак, площадь сечения, проведенного через боковое ребро и середину противолежащей стороны основания, равна (2\sqrt{3}) квадратных сантиметра.