В рав­но­сто­рон­нем тре­уголь­ни­ке ABC точки M, N, K — се­ре­ди­ны сто­рон АВ, ВС, СА со­от­вет­ствен­но....

Так как точки M, N, K являются серединами сторон треугольника ABC, то их соединение образует ромб.

Для того чтобы доказать, что BMKN — ромб, рассмотрим свойства равностороннего треугольника ABC и проведем необходимые вычисления и рассуждения.

1. Свойства равностороннего треугольника:

   • Все стороны равны: (AB = BC = CA).
   • Все углы равны: (\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ).

2. Определение точек M, N и K:

   • Точки M, N, K — середины сторон AB, BC и CA соответственно. Таким образом, (AM = MB), (BN = NC), (CK = KA).

3. Свойства медиан в равностороннем треугольнике:

   • В равностороннем треугольнике медианы пересекаются в одной точке и делятся в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.
   • Кроме того, медианы также являются высотами и биссектрисами.

4. Сравнение сторон квадрата BMKN:

   • Рассмотрим треугольник ABC с центроидом (точкой пересечения медиан) G.
   • Поскольку M, N, и K являются серединами сторон, отрезки BM, KN, MK и BN будут параллельны сторонам треугольника и равны половине длины стороны треугольника ABC.

5. Рассмотрение векторов:

   • Если обозначить вершины треугольника ABC как векторы (\mathbf{A}), (\mathbf{B}) и (\mathbf{C}), то: [ \mathbf{M} = \frac{\mathbf{A} + \mathbf{B}}{2}, \quad \mathbf{N} = \frac{\mathbf{B} + \mathbf{C}}{2}, \quad \mathbf{K} = \frac{\mathbf{C} + \mathbf{A}}{2}. ]

6. Сравнение длин отрезков:

   • Длины отрезков BM, KN, MK и BN можно найти через векторы и они будут равны: [ |\mathbf{B} - \mathbf{M}| = |\mathbf{N} - \mathbf{K}| = |\mathbf{M} - \mathbf{K}| = |\mathbf{B} - \mathbf{N}|. ]

7. Параллельность сторон:

   • Векторы (\mathbf{B} - \mathbf{M}), (\mathbf{N} - \mathbf{K}), (\mathbf{M} - \mathbf{K}) и (\mathbf{B} - \mathbf{N}) будут параллельны сторонам треугольника ABC.

8. Равенство углов:

   • Углы между векторами равны 60°, так как они соответствуют углам равностороннего треугольника.

Таким образом, мы видим, что все стороны BMKN равны и противоположные стороны параллельны. Также все углы равны 60° и 120° (внутренние и внешние углы), что подтверждает, что BMKN является ромбом.

Для доказательства того, что четырехугольник BMKN является ромбом, нужно показать, что все его стороны равны между собой.

Поскольку M, N, K - середины сторон треугольника ABC, то отрезки AM, MC, CB, BN, NA, AC делятся пополам. Таким образом, AM = MB, MC = CK, CB = BA, BN = NC, NA = AC, AC = CB.

Из этого следует, что BM = MC = CN = NB = NA = AM. Таким образом, все стороны четырехугольника BMKN равны между собой, что и означает, что BMKN - ромб.