В равнобедренной трапеции основание равны 11 см и 21 см,а боковая сторона равна 13 см.Найдите диагонали...

Для нахождения диагоналей равнобедренной трапеции можно воспользоваться теоремой Пифагора.

Пусть (AC) и (BD) - диагонали трапеции, где (AC) - большая диагональ, а (BD) - меньшая диагональ.

Так как трапеция равнобедренная, то (AB = CD = 21) см (основание трапеции), (BC = AD = 13) см (боковая сторона трапеции).

Разделим трапецию на два прямоугольных треугольника (ABC) и (ACD). По теореме Пифагора для треугольника (ABC): [AC^2 = AB^2 + BC^2] [AC^2 = 21^2 + 13^2] [AC^2 = 441 + 169] [AC^2 = 610] [AC = \sqrt{610} \approx 24,7 \text{ см}]

Теперь найдем меньшую диагональ (BD), которая также равна (AC), так как трапеция равнобедренная. Поэтому (BD = \sqrt{610} \approx 24,7 \text{ см}).

Таким образом, большая и меньшая диагонали равнобедренной трапеции равны приблизительно 24,7 см.

Для решения задачи о нахождении диагоналей равнобедренной трапеции нужно использовать несколько геометрических свойств и теорем. Давайте поэтапно разберем решение.

1. Обозначения и данные:

   • Основания трапеции: (AB = 21 ) см и (CD = 11 ) см.
   • Боковые стороны трапеции: (AD = BC = 13 ) см.
   • Пусть (AB) и (CD) — основания трапеции (где (AB) — большее основание), а боковые стороны (AD) и (BC) равны между собой.

2. Средняя линия трапеции:

   • Средняя линия трапеции (MN) равна полусумме оснований: [ MN = \frac{AB + CD}{2} = \frac{21 + 11}{2} = 16 \text{ см} ]

3. Опускание перпендикуляров:

   • Опустим перпендикуляры из точек (D) и (C) на прямую (AB), обозначим точки пересечения как (D') и (C'), соответственно.
   • Тогда отрезки (AD') и (BC') — высоты трапеции.

4. Разбиение трапеции на прямоугольные треугольники:

   • Трапеция разбивается на 2 прямоугольных треугольника (ADD') и (BCC') и прямоугольник (D'DC'B).

5. Нахождение высоты трапеции:

   • В треугольнике (ADD') по теореме Пифагора: [ AD = \sqrt{(D'D)^2 + (A'D')^2} ]
   • (D'D = C'C = \frac{AB - CD}{2} = \frac{21 - 11}{2} = 5 \text{ см})
   • Тогда высота (A'D' = h) вычисляется как: [ AD = 13 \text{ см}, \quad D'D = 5 \text{ см} ] [ 13 = \sqrt{5^2 + h^2} ] [ 169 = 25 + h^2 ] [ h^2 = 144 ] [ h = \sqrt{144} = 12 \text{ см} ]

6. Нахождение диагоналей:

   • Для нахождения диагоналей используем теорему Пифагора в треугольнике (ABD): [ AB = 21 \text{ см}, \quad BD' = \sqrt{(D'D)^2 + h^2} ] [ BD' = \sqrt{5^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \text{ см} ]
     • Поскольку диагонали (AC) и (BD) равны в равнобедренной трапеции, нам нужно определить диагональ (AC): [ AC = \sqrt{(AB + CD)^2 - 4(AD \cdot BC)} ]
     • Подставим известные значения: [ AC = \sqrt{(21 + 11)^2 - 4 \cdot 13 \cdot 13} ] [ AC = \sqrt{32^2 - 4 \cdot 169} ] [ AC = \sqrt{1024 - 676} ] [ AC = \sqrt{348} ] [ AC = \sqrt{348} = 2 \sqrt{87} \approx 18.66 \text{ см} ]

Ответ: Длина диагоналей трапеции составляет примерно (18.66 \text{ см}).