В равнобедренной трапеции высота и основания относятся как 3:5:13, а боковая сторона равная 15 см. Найдите...

Для начала рассмотрим равнобедренную трапецию. Пусть её нижнее основание равно (a), верхнее основание - (b), боковые стороны - (c = 15) см, а высота - (h).

Исходя из условия, что отношение (h:a:b = 3:5:13), мы можем представить:

• (h = 3k),
• (a = 5k),
• (b = 13k), где (k) - коэффициент пропорциональности.

Теперь рассмотрим трапецию из вертикальной высоты. Трапеция делится высотой на два прямоугольных треугольника и один прямоугольник. Половина разности оснований ( \frac{a - b}{2} = \frac{5k - 13k}{2} = -4k ) будет катетом двух прямоугольных треугольников, а высота (h = 3k) будет другим катетом.

Используя теорему Пифагора для определения гипотенузы (боковой стороны трапеции), получаем: [ c^2 = (-4k)^2 + (3k)^2 = 16k^2 + 9k^2 = 25k^2 ] [ c = 15 \text{ см} ] [ 15^2 = 25k^2 ] [ 225 = 25k^2 ] [ k^2 = 9 ] [ k = 3 ]

Теперь подставляем найденное значение (k) в выражения для (a), (b) и (h):

• (a = 5k = 15 \text{ см}),
• (b = 13k = 39 \text{ см}),
• (h = 3k = 9 \text{ см}).

Площадь трапеции находится по формуле: [ S = \frac{(a + b) \times h}{2} = \frac{(15 + 39) \times 9}{2} = \frac{54 \times 9}{2} = \frac{486}{2} = 243 \text{ см}^2 ]

Таким образом, площадь трапеции равна (243) квадратных сантиметров.

Площадь трапеции равна 120 кв. см.