В равнобедренной трапециибольшее основание в 2 раза больше превосходит меньше. Середина большего основания...

Для решения задачи сначала обозначим все известные величины и используем их для нахождения углов трапеции.

Пусть:

• $AB$ и $CD$ — основания равнобедренной трапеции, где $AB>CD$.
• $AB=2a$ и $CD=a$ $поусловию(AB$ в 2 раза больше $CD$).
• $AD=BC=b$ — боковые стороны трапеции.

Середина большего основания $AB$ обозначим через $M$. По условию, $M$ удалена от вершины тупого угла на расстояние, равное длине меньшего основания, то есть $MC=a$.

Рассмотрим трапецию $ABCD$ и проведем высоты $h$ из точек $A$ и $B$ на основание $CD$, обозначив точки пересечения как $A^{\prime }$ и $B^{\prime }$ соответственно. Так как трапеция равнобедренная, то $A^{\prime }D=B^{\prime }C$ и $A^{\prime }D=B^{\prime }C=x$.

Тогда $CD=a$, и $AB=A^{\prime }D+A^{\prime }B+B^{\prime }C$.

Поскольку $AB=2a$: $a=2x\Rightarrow x=\frac{a}{2}$

Теперь мы знаем, что: $AD=BC=b$ $A^{\prime }D=B^{\prime }C=\frac{a}{2}$

Используем теорему Пифагора для треугольника $A^{\prime }A$ и $B^{\prime }B$: $h^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=b^2\Rightarrow h=\sqrt{b^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}$

Также по условию задачи, $MC=a$. Точка $M$ — середина $AB$, значит $M$ делит $AB$ пополам: $AM=MB=a$

Тогда $M$ удалена от вершины тупого угла $пустьэтоуголпривершине(C$) на расстояние $a$: $MC=a$

Теперь рассмотрим треугольник $MBC$: $MC=a,MB=a,BC=b$

Этот треугольник также равнобедренный, и угол $\mathrm{\angle }MBC$ равен углу $\mathrm{\angle }MCB$.

Рассмотрим угол $\mathrm{\angle }MCB$: $\cos \mathrm{\angle }MCB=\frac{M{C}^2+B{C}^2-M{B}^2}{2\cdot MC\cdot BC}=\frac{a^2+b^2-a^2}{2ab}=\frac{b^2}{2ab}=\frac{b}{2a}$

Угол $\mathrm{\angle }MCB$ равен ${60}^{\circ }$, так как $\cos {60}^{\circ }=\frac{1}{2}$.

Теперь мы знаем, что углы при основании трапеции равны ${60}^{\circ }$. Значит, тупые углы трапеции: $\mathrm{\angle }DAB=\mathrm{\angle }BCD={120}^{\circ }$

Таким образом, углы трапеции равны:

• Углы при основании $D$ и $C$: ${60}^{\circ }$.
• Тупые углы при вершинах $A$ и $B$: ${120}^{\circ }$.

Ответ: углы трапеции равны ${60}^{\circ }$ и ${120}^{\circ }$.

Пусть меньшее основание трапеции равно b, тогда большее основание равно 2b. Обозначим середину большего основания как точку М, а вершину тупого угла как точку А. Также обозначим точки, где высота пересекает большее и меньшее основания, как В и С соответственно.

Так как AM = b, то MB = b. Также, так как трапеция равнобедренная, то AB = BC = 2b. Из треугольника ABC можем найти угол BAC, так как это равнобедренный треугольник, и он равен углу BCA. Так как у этого треугольника сумма углов равна 180 градусов, то угол BAC = 180 - 2angle BCA = 180 - 2angle ABC.

Теперь рассмотрим треугольник AMB. Так как AM = MB, то угол AMB = угол ABM. Но угол ABM = 180 - угол BAC, так как угол BAC в трапеции равен углу ABC. Таким образом, угол AMB = 180 - угол BAC = 180 - (180 - 2angle ABC) = 2angle ABC.

Итак, угол BAC = 180 - 2angle ABC, а угол AMB = 2angle ABC.