В равнобедренной трапециибольшее основание в 2 раза больше превосходит меньше. Середина большего основания...

Для решения задачи сначала обозначим все известные величины и используем их для нахождения углов трапеции.

Пусть:

• ( AB ) и ( CD ) — основания равнобедренной трапеции, где ( AB > CD ).
• ( AB = 2a ) и ( CD = a ) (по условию ( AB ) в 2 раза больше ( CD )).
• ( AD = BC = b ) — боковые стороны трапеции.

Середина большего основания ( AB ) обозначим через ( M ). По условию, ( M ) удалена от вершины тупого угла на расстояние, равное длине меньшего основания, то есть ( MC = a ).

Рассмотрим трапецию ( ABCD ) и проведем высоты ( h ) из точек ( A ) и ( B ) на основание ( CD ), обозначив точки пересечения как ( A' ) и ( B' ) соответственно. Так как трапеция равнобедренная, то ( A'D = B'C ) и ( A'D = B'C = x ).

Тогда ( CD = a ), и ( AB = A'D + A'B + B'C ).

Поскольку ( AB = 2a ): [ a = 2x \Rightarrow x = \frac{a}{2} ]

Теперь мы знаем, что: [ AD = BC = b ] [ A'D = B'C = \frac{a}{2} ]

Используем теорему Пифагора для треугольника ( A'A ) и ( B'B ): [ h^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = b^2 \Rightarrow h = \sqrt{b^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} ]

Также по условию задачи, ( MC = a ). Точка ( M ) — середина ( AB ), значит ( M ) делит ( AB ) пополам: [ AM = MB = a ]

Тогда ( M ) удалена от вершины тупого угла (пусть это угол при вершине ( C )) на расстояние ( a ): [ MC = a ]

Теперь рассмотрим треугольник ( MBC ): [ MC = a, \quad MB = a, \quad BC = b ]

Этот треугольник также равнобедренный, и угол ( \angle MBC ) равен углу ( \angle MCB ).

Рассмотрим угол ( \angle MCB ): [ \cos \angle MCB = \frac{MC^2 + BC^2 - MB^2}{2 \cdot MC \cdot BC} = \frac{a^2 + b^2 - a^2}{2ab} = \frac{b^2}{2ab} = \frac{b}{2a} ]

Угол ( \angle MCB ) равен ( 60^\circ ), так как ( \cos 60^\circ = \frac{1}{2} ).

Теперь мы знаем, что углы при основании трапеции равны ( 60^\circ ). Значит, тупые углы трапеции: [ \angle DAB = \angle BCD = 120^\circ ]

Таким образом, углы трапеции равны:

• Углы при основании ( D ) и ( C ): ( 60^\circ ).
• Тупые углы при вершинах ( A ) и ( B ): ( 120^\circ ).

Ответ: углы трапеции равны ( 60^\circ ) и ( 120^\circ ).

Пусть меньшее основание трапеции равно b, тогда большее основание равно 2b. Обозначим середину большего основания как точку М, а вершину тупого угла как точку А. Также обозначим точки, где высота пересекает большее и меньшее основания, как В и С соответственно.

Так как AM = b, то MB = b. Также, так как трапеция равнобедренная, то AB = BC = 2b. Из треугольника ABC можем найти угол BAC, так как это равнобедренный треугольник, и он равен углу BCA. Так как у этого треугольника сумма углов равна 180 градусов, то угол BAC = 180 - 2angle BCA = 180 - 2angle ABC.

Теперь рассмотрим треугольник AMB. Так как AM = MB, то угол AMB = угол ABM. Но угол ABM = 180 - угол BAC, так как угол BAC в трапеции равен углу ABC. Таким образом, угол AMB = 180 - угол BAC = 180 - (180 - 2angle ABC) = 2angle ABC.

Итак, угол BAC = 180 - 2angle ABC, а угол AMB = 2angle ABC.