В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 55см, а высота, проведенная к основанию, - 44см....

Для решения задачи нам нужно определить длины отрезков, на которые биссектриса угла при основании делит боковую сторону равнобедренного треугольника. Обозначим треугольник следующим образом:

• $ABC$ — равнобедренный треугольник с основанием $AB$ и боковыми сторонами $AC$ и $BC$, каждая из которых равна 55 см.
• Высота $CD$, проведённая к основанию $AB$, равна 44 см. Она также является медианой и биссектрисой, так как треугольник равнобедренный.

Для начала найдем основание $AB$ треугольника, используя теорему Пифагора в прямоугольном треугольнике $ACD$ $или(BCD$):

1. Найдём длину основания $AB$

Так как $CD$ — это высота треугольника, она делит основание $AB$ пополам. Пусть длина половины основания равна $x$, тогда $AB=2x$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACD$: $A{C}^2=C{D}^2+A{D}^2.$ Подставим известные значения: ${55}^2={44}^2+x^2.$ Посчитаем квадрат длины боковой стороны и высоты: $3025=1936+x^2.$ Вычтем $1936$ из $3025$: $x^2=1089.$ Найдём $x$: $x=\sqrt{1089}=33\text{см}.$ Таким образом, половина основания равна $33\text{см}$, а всё основание: $AB=2x=66\text{см}.$

2. Биссектриса угла при основании

Теперь нам нужно рассмотреть биссектрису угла при основании $\mathrm{\angle }ACB$, которая делит боковую сторону $AC$ $длиной55см$ на два отрезка. Пусть биссектриса пересекает $AC$ в точке $E$. Согласно теореме о биссектрисе, отрезки $AE$ и $EC$ относятся так же, как стороны треугольника, прилежащие к этим отрезкам: $\frac{AE}{EC}=\frac{AB}{BC}.$ Подставим известные значения: $\frac{AE}{EC}=\frac{66}{55}.$ Упростим дробь: $\frac{AE}{EC}=\frac{6}{5}.$ Это означает, что $AE$ и $EC$ относятся как 6:5. Пусть длина $AE$ равна $6k$, а длина $EC$ равна $5k$. Тогда: $AE+EC=AC.$ Подставим значения: $6k+5k=55.$ Сложим: $11k=55.$ Найдём $k$: $k=5.$ Теперь найдём длины отрезков: $AE=6k=6\cdot 5=30\text{см},EC=5k=5\cdot 5=25\text{см}.$

Ответ:

Биссектриса делит боковую сторону $AC$ на два отрезка: $AE=30\text{см},EC=25\text{см}.$

В равнобедренном треугольнике, где боковые стороны равны и высота проведена к основанию, можно найти длину отрезков на боковой стороне, которые образует биссектриса угла при основании.

Обозначим треугольник ABC, где AB и AC — боковые стороны, BC — основание, а высота AH проведена из вершины A к основанию BC. Дано, что AB = AC = 55 см и высота AH = 44 см.

1. Найдем длину основания BC. Используем прямоугольный треугольник AHB, где A — вершина, H — основание высоты, и B — один из концов основания. По теореме Пифагора:

   $A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2$ Подставим известные значения:

   ${55}^2={44}^2+B{H}^2$

   $3025=1936+B{H}^2$

   $B{H}^2=3025-1936=1089$

   $BH=\sqrt{1089}=33\text{ см}$

   Поскольку треугольник равнобедренный, отрезок HC тоже равен 33 см. Таким образом, основание BC равно:

   $BC=BH+HC=33+33=66\text{ см}$

2. Найдем длину отрезков, на которые делит боковую сторону биссектрисой угла при основании. Обозначим точку пересечения биссектрисы с боковой стороной AB как D. По свойству биссектрисы, отношение отрезков, на которые она делит сторону, равно отношению оснований треугольника:

   $\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}$

   Подставим известные значения:

   $\frac{AD}{DB}=\frac{55}{66}$

   Это можно упростить:

   $\frac{AD}{DB}=\frac{5}{6}$

   Обозначим $AD=5x$ и $DB=6x$. Тогда:

   $AD+DB=AB$

   Подставим:

   $5x+6x=55$

   $11x=55⟹x=5$

   Теперь найдем длины отрезков:

   $AD=5x=5\cdot 5=25\text{ см}$ $DB=6x=6\cdot 5=30\text{ см}$

Таким образом, длины отрезков, на которые делит боковую сторону биссектрисой, составляют 25 см и 30 см.