В равнобокой трапеции диагональ делит острый угол пополам , P тр= 54 дм,большее основание равно 1,8м....

Для решения данной задачи нам понадобится использовать свойства равнобокой трапеции и некоторые тригонометрические соотношения.

1. Свойства равнобокой трапеции:

   • Боковые стороны равны.
   • Диагонали равны.
   • Диагональ делит острый угол пополам.

2. Обозначения:

   • Пусть (a) – большее основание трапеции, (b) – меньшее основание, (c) – боковая сторона.
   • Площадь трапеции (S = 54) дм².
   • (a = 1.8) м = 180 см (переведем в сантиметры для удобства).

3. Острый угол трапеции:

   • Так как диагональ делит острый угол пополам, каждая половина этого угла будет равна ( \theta ).
   • Пусть ( \theta ) – угол между боковой стороной и диагональю.

4. Использование тригонометрических соотношений:

   • Рассмотрим один из треугольников, образованных диагональю (например, с вершинами на меньшем основании, одной из боковых сторон и диагональю). Так как диагональ делит острый угол пополам, этот треугольник является равнобедренным.
   • Обозначим длину диагонали как ( d ).
   • По теореме косинусов для этого треугольника: ( d^2 = c^2 + c^2 - 2c^2 \cos(2\theta) = 2c^2(1 - \cos(2\theta)) ).
   • Используем формулу двойного угла: ( \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2(\theta) ), где ( \sin(\theta) ) можно выразить через стороны маленького треугольника.

5. Площадь трапеции:

   • Площадь трапеции по формуле: ( S = \frac{a+b}{2} \cdot h ), где ( h ) – высота трапеции.
   • Высоту можно выразить через боковую сторону и угол ( \theta ): ( h = c \sin(\theta) ).

6. Расчеты:

   • Сначала найдем ( \sin(\theta) ) из соотношений для высоты и площади, а затем используем его для нахождения ( b ).
   • ( 54 = \frac{180 + b}{2} \cdot c \sin(\theta) ).

Однако, для полного решения задачи необходимо знать дополнительные данные (например, длину боковой стороны или углы трапеции), которые не предоставлены в условии. Таким образом, без дополнительной информации или допущений о других параметрах (например, предполагая, что трапеция равнобедренная), нельзя точно решить задачу.

Для решения данной задачи нам необходимо воспользоваться теоремой косинусов.

Обозначим меньшее основание трапеции как (a) и высоту, проведенную из вершины острого угла к большему основанию, как (h).

Из условия задачи известно, что (P_{тр} = 54) дм и большее основание равно 1,8 м. Также, из условия о том, что диагональ делит острый угол пополам, следует, что треугольник, образованный диагональю и половиной большего основания, является прямоугольным.

Таким образом, мы можем записать систему уравнений: [ \begin{cases} a + 1,8 = 5,4\ \frac{h}{a} = \frac{\sqrt{5,4^2 - 1,8^2}}{2} \end{cases} ]

Решая данную систему уравнений, мы найдем, что меньшее основание трапеции равно 2,7 м.