В равносторонием треугольнике МНР,НК-биссектриса, МН=2. Выычеслите скалярное произведение векторов НК*МР

В равностороннем треугольнике все стороны равны, и все углы равны (60^\circ). В данном случае, треугольник (МНР) — равносторонний, и сторона (МН = 2), следовательно, все стороны треугольника равны 2.

Теперь рассмотрим биссектрису (НК). В равностороннем треугольнике биссектриса, медиана и высота, проведенные из одной вершины, совпадают. Поэтому точка (К) является серединой стороны (МР). Таким образом, (МК = КР = 1).

Теперь найдем скалярное произведение векторов (\vec{НК}) и (\vec{МР}).

1. Определение векторов:

Пусть координаты точки (Н) будут ((0, 0)), точки (М) — ((2, 0)), и точки (Р) — ((1, \sqrt{3})). Поскольку (\triangle МНР) — равносторонний, высота из точки (Н) на сторону (МР) будет равна (\sqrt{3}), и точка (Р) будет находиться на этой высоте.

Координаты точки (К), как середины отрезка (МР), будут: [ К = \left(\frac{2 + 1}{2}, \frac{0 + \sqrt{3}}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) ]

1. Вычисление векторов:

Вектор (\vec{НК}) определяется как: [ \vec{НК} = \left(\frac{3}{2} - 0, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0\right) = \left(\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right) ]

Вектор (\vec{МР}) определяется как: [ \vec{МР} = (1 - 2, \sqrt{3} - 0) = (-1, \sqrt{3}) ]

1. Скалярное произведение:

Скалярное произведение (\vec{НК} \cdot \vec{МР}) вычисляется как: [ \vec{НК} \cdot \vec{МР} = \left(\frac{3}{2}\right) \cdot (-1) + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \sqrt{3} ]

[ = -\frac{3}{2} + \frac{3}{2} = 0 ]

Таким образом, скалярное произведение векторов (\vec{НК}) и (\vec{МР}) равно 0. Это указывает на то, что векторы (\vec{НК}) и (\vec{МР}) перпендикулярны.

Для решения данной задачи нам необходимо знать следующие свойства равностороннего треугольника:

1. В равностороннем треугольнике все стороны равны между собой.
2. В равностороннем треугольнике все углы равны 60 градусам.
3. Биссектриса в равностороннем треугольнике является медианой и высотой, что делит угол на два равных угла.

Из условия известно, что в равностороннем треугольнике МНР сторона МН равна 2. Так как треугольник равносторонний, то сторона НР также будет равна 2. Также известно, что НК - биссектриса угла МНР.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов НК и МР. Скалярное произведение векторов равно произведению длин векторов на косинус угла между ними.

Для начала найдем вектор НК. Так как НК - биссектриса угла МНР, то вектор НК будет направлен по прямой, делящей угол МНР пополам. Таким образом, вектор НК будет равен вектору НР, но с направлением, противоположным вектору МР. То есть вектор НК = -МР.

Теперь вычислим скалярное произведение: НК МР = |НК| |МР| cos(угол между НК и МР) = |-МР| |МР| * cos(60 градусов).

Так как длины векторов равны 2, то получаем: НК МР = 2 2 cos(60 градусов) = 4 0.5 = 2.

Итак, скалярное произведение векторов НК и МР равно 2.