В шар вписан конус, образующая которого равна диаметру основания . Найдите отношение объема шара к объему...

Отношение объема шара к объему конуса равно 3:1.

Чтобы найти отношение объема шара к объему конуса, вписанного в него, с условием, что образующая конуса равна диаметру его основания, следуем следующим шагам:

1. Обозначения и условия задачи:

   • Пусть ( r ) — радиус основания конуса.
   • Тогда диаметр основания конуса будет равен ( 2r ).
   • Образующая конуса ( l ) также равна ( 2r ), по условию задачи.
   • Высота конуса ( h ) и радиус основания связаны с помощью теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом основания и образующей: ( l^2 = h^2 + r^2 ).

2. Вычисление высоты конуса: [ (2r)^2 = h^2 + r^2 \implies 4r^2 = h^2 + r^2 \implies h^2 = 3r^2 \implies h = r\sqrt{3} ]

3. Вычисление объема конуса: [ V_{\text{конуса}} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi r^2 (r\sqrt{3}) = \frac{\pi r^3 \sqrt{3}}{3} ]

4. Вычисление радиуса шара:

   • Поскольку конус вписан в шар, высота конуса ( h ) плюс радиус основания ( r ) составляют диаметр шара. [ 2R = h + r = r\sqrt{3} + r = r(\sqrt{3} + 1) ]
   • Радиус шара: [ R = \frac{r(\sqrt{3} + 1)}{2} ]

5. Вычисление объема шара: [ V_{\text{шара}} = \frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{r(\sqrt{3} + 1)}{2}\right)^3 ]

   • Упростим выражение для объема шара: [ = \frac{4}{3} \pi \left(\frac{r(\sqrt{3} + 1)}{2}\right)^3 = \frac{4}{3} \pi \frac{r^3 (\sqrt{3} + 1)^3}{8} = \frac{\pi r^3 (\sqrt{3} + 1)^3}{6} ]

6. Отношение объема шара к объему конуса: [ \frac{V{\text{шара}}}{V{\text{конуса}}} = \frac{\frac{\pi r^3 (\sqrt{3} + 1)^3}{6}}{\frac{\pi r^3 \sqrt{3}}{3}} = \frac{(\sqrt{3} + 1)^3}{2\sqrt{3}} ]

   • Вычисляем ((\sqrt{3} + 1)^3): [ (\sqrt{3} + 1)^3 = (\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} + 1) = (\sqrt{3} + 1)(4 + 2\sqrt{3}) = 4(\sqrt{3} + 1) + 2\sqrt{3}(\sqrt{3} + 1) ] [ = 4\sqrt{3} + 4 + 6 + 2\sqrt{3} = 10 + 6\sqrt{3} ]

   • Итак, окончательное отношение: [ = \frac{10 + 6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} ]

Таким образом, отношение объема шара к объему конуса равно (\frac{10 + 6\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}).

Для решения данной задачи нам необходимо использовать формулы для объемов шара и конуса.

Объем шара вычисляется по формуле: V_шара = (4/3)πr^3, где r - радиус шара.

Объем конуса вычисляется по формуле: V_конуса = (1/3)πr^2h, где r - радиус основания конуса, h - высота конуса.

Так как вписанный в шар конус имеет образующую, равную диаметру основания, то его высота будет равна радиусу шара: h = r.

Таким образом, объем конуса можно переписать в виде: V_конуса = (1/3)πr^2r = (1/3)πr^3.

Теперь мы можем найти отношение объема шара к объему конуса: V_шара / V_конуса = ((4/3)πr^3) / ((1/3)πr^3) = 4/1 = 4.

Ответ: отношение объема шара к объему конуса равно 4.