В тетраэдре SABC на ребре AB выбрана точка K так, что AK:KB = 1:2. Через точку K параллельно прямым...

Для решения задачи начнем с построения тетраэдра SABC и выбора точки K на ребре AB с заданным соотношением отрезков AK и KB.

1. Определение координат точек: Для удобства работы с точками, зададим координаты:

   • ( A(0, 0, 0) )
   • ( B(3, 0, 0) ) (так как ( AK:KB = 1:2 ), то точка K будет находиться в одной трети от A к B)
   • ( K(1, 0, 0) )
   • ( C(3, 3, 0) )
   • ( S(1.5, 1.5, 9) )

2. Параллельные плоскости: Плоскость, проходящая через точку K и параллельная прямым BC и AS, будет определяться вектором, который лежит в плоскости, образованной точками B и C, и вектором, соединяющим точки A и S.

   Вектор ( \overrightarrow{BC} = C - B = (3 - 3, 3 - 0, 0 - 0) = (0, 3, 0) ) и вектор ( \overrightarrow{AS} = S - A = (1.5 - 0, 1.5 - 0, 9 - 0) = (1.5, 1.5, 9) ).

3. Нахождение нормали: Для получения нормали к искомой плоскости, воспользуемся векторным произведением: [ \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{AS} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 0 & 3 & 0 \ 1.5 & 1.5 & 9 \end{vmatrix} = (3 \cdot 9 - 0 \cdot 1.5)\hat{i} - (0 \cdot 9 - 0 \cdot 1.5)\hat{j} + (0 \cdot 1.5 - 3 \cdot 1.5)\hat{k} = 27\hat{i} + 0\hat{j} - 4.5\hat{k} ] Нормаль к плоскости: ( n = (27, 0, -4.5) ).

4. Уравнение плоскости: Уравнение плоскости можно записать в виде: [ 27(x - 1) + 0(y - 0) - 4.5(z - 0) = 0 \Rightarrow 27x - 4.5z - 27 = 0 \Rightarrow 27x - 4.5z = 27 ] Упростим уравнение: [ 6x - z = 6 ]

5. Пересечение плоскости с гранями тетраэдра: Теперь найдём пересечения плоскости с гранями тетраэдра, чтобы определить точки сечения. Мы рассмотрим грани SAB, SBC и SCA.

   • Грань SAB: Уравнение грани SAS (плоскость, проходящая через точки S, A, B): [ \text{Для AB: } z = 0 ] Подставим в уравнение плоскости: [ 6x - 0 = 6 \Rightarrow x = 1 ] Значит, точка пересечения ( D(1, 0, 0) ).

   • Грань SBC: Уравнение грани SBC: [ y = 0 \, (x=3); \, z = \frac{9}{3}(x - 3) + 9 \, (из A и S) ] Упростив, найдём точку пересечения.

   • Грань SCA: Аналогично находим пересечение с гранями SCA.

6. Вычисление периметра: После нахождения всех точек сечения ( P, Q, R, D ) и их координат, мы можем вычислить длины отрезков между ними и сложить их для нахождения периметра.

   Периметр сечения: [ P_{total} = PQ + QR + RP + PD + . ]

При вычислении всех этих длины, можно будет получить периметр сечения.

Результат будет зависеть от точных координат пересечений, которые нужно будет вычислить на каждом этапе.

Давайте разберем задачу подробно и пошагово.

Условие задачи:

1. У нас есть тетраэдр ( SABC ).
2. На ребре ( AB ) выбрана точка ( K ), такая что ( AK : KB = 1 : 2 ). Это означает, что точка ( K ) делит отрезок ( AB ) в отношении 1:2 по длине.
3. Через точку ( K ) проведена плоскость, параллельная прямым ( BC ) и ( AS ).
4. Даны длины:
   • ( BC = 6 \, \text{см} ),
   • ( AS = 9 \, \text{см} ).
5. Нужно построить сечение, определить его форму и вычислить периметр.

Шаг 1. Характеристика плоскости сечения

Плоскость, проходящая через точку ( K ) и параллельная прямым ( BC ) и ( AS ), имеет следующие свойства:

• Параллельность ( BC ) означает, что сечение будет содержать отрезок, параллельный ( BC ).
• Параллельность ( AS ) означает, что сечение будет содержать отрезок, параллельный ( AS ).

Таким образом, сечение будет представлять собой параллелограмм, так как оно ограничено четырьмя сторонами, две из которых параллельны ( BC ), а две другие — параллельны ( AS ).

Шаг 2. Найдем точки пересечения плоскости с гранями тетраэдра

Для построения сечения нам нужно определить точки пересечения плоскости с гранями тетраэдра:

• Плоскость проходит через точку ( K ) на ребре ( AB ) и пересечет остальные ребра тетраэдра.

1. Точка ( K ) на ребре ( AB ):

Координаты точки ( K ) на ребре ( AB ) делят его в отношении ( AK : KB = 1 : 2 ).

2. Пересечение плоскости с ребром ( AC ):

Поскольку плоскость параллельна ( BC ), точка пересечения этой плоскости с ребром ( AC ) делит ( AC ) в том же отношении, что и ( AB ) делится точкой ( K ), то есть ( 1 : 2 ). Обозначим точку пересечения за ( P ).

3. Пересечение плоскости с ребром ( SC ):

Поскольку плоскость параллельна ( AS ), точка пересечения этой плоскости с ребром ( SC ) делит ( SC ) в том же отношении, что и ( AB ) делится точкой ( K ), то есть ( 1 : 2 ). Обозначим точку пересечения за ( Q ).

4. Пересечение плоскости с ребром ( SB ):

Аналогично, плоскость параллельна ( AS ), а точка пересечения делит ( SB ) в том же отношении ( 1 : 2 ). Обозначим точку пересечения за ( R ).

Шаг 3. Построение сечения

Соединяя точки ( P ), ( Q ), ( R ) и ( K ), получаем сечение. Оно представляет собой параллелограмм ( PKRQ ), так как:

• ( PK \parallel QR ) (обе "стороны" параллельны ( BC )),
• ( PQ \parallel KR ) (обе "стороны" параллельны ( AS )).

Шаг 4. Вычисление длин сторон сечения

1. Отрезки, параллельные ( BC ): Поскольку плоскость делит ( AC ) и ( SC ) в отношении ( 1:2 ), длины отрезков ( PK ) и ( QR ) составляют ( \frac{1}{3} ) от длины ( BC ): [ PK = QR = \frac{1}{3} \cdot BC = \frac{1}{3} \cdot 6 = 2 \, \text{см}. ]

2. Отрезки, параллельные ( AS ): Поскольку плоскость делит ( AB ) и ( SB ) в отношении ( 1:2 ), длины отрезков ( PQ ) и ( KR ) составляют ( \frac{1}{3} ) от длины ( AS ): [ PQ = KR = \frac{1}{3} \cdot AS = \frac{1}{3} \cdot 9 = 3 \, \text{см}. ]

Шаг 5. Вычисление периметра сечения

Параллелограмм ( PKRQ ) имеет две стороны длиной ( 2 \, \text{см} ) и две стороны длиной ( 3 \, \text{см} ). Периметр равен: [ P = 2 \cdot (2 + 3) = 2 \cdot 5 = 10 \, \text{см}. ]

Ответ:

1. Сечение тетраэдра — это параллелограмм.
2. Периметр сечения равен ( \boxed{10 \, \text{см}} ).