В трапеции ABCD (AD и BC-основания) точка K лежит на стороне CD, причем CK:KD=1:2. AK пересекает BD...

Рассмотрим трапецию (ABCD), где (AD) и (BC) — её основания. Пусть точка (K) лежит на стороне (CD) так, что (CK:KD = 1:2). Это означает, что точка (K) делит отрезок (CD) в отношении (1:2).

Точка (O) — точка пересечения отрезка (AK) с диагональю (BD). Нам нужно доказать, что в случае, если основания трапеции соотносятся как (BC:AD = 1:2), то отрезки (BO) и (OD) равны.

Для доказательства будем использовать теорему Менелая для треугольника (BCD) с секущей (AK).

Шаг 1: Применение теоремы Менелая

Для треугольника (BCD) и секущей (AK) теорема Менелая гласит, что:

[ \frac{BK}{KD} \cdot \frac{DO}{OC} \cdot \frac{AC}{AB} = 1 ]

Из условия задачи (CK:KD = 1:2), следовательно, (\frac{CK}{KD} = \frac{1}{2}). Поскольку (K) делит (CD) в отношении (1:2), то (CK = \frac{1}{3}CD) и (KD = \frac{2}{3}CD).

Шаг 2: Отношение оснований

Также из условия задачи (BC:AD = 1:2), что означает:

[ \frac{BC}{AD} = \frac{1}{2} ]

Шаг 3: Применение теоремы Менелая

Подставим известные отношения в равенство из теоремы Менелая:

[ \frac{BK}{KD} = \frac{BK}{\frac{2}{3}CD} ]

Так как точка (K) делит (CD) в отношении (1:2), мы можем выразить (BK) через (BC):

[ BK = BC - CK = BC - \frac{1}{3}CD ]

Теперь используем теорему Менелая:

[ \frac{BK}{KD} \cdot \frac{DO}{OC} = 1 ]

Подставим значения:

[ \frac{BC - \frac{1}{3}CD}{\frac{2}{3}CD} \cdot \frac{DO}{OC} = 1 ]

Шаг 4: Упрощение и завершение

Так как (BC = \frac{1}{2}AD) и (AD = 2 \times BC), то (CD = BC + AD = BC + 2BC = 3BC). Следовательно, (CD = 3 \times BC).

Подставляя это в уравнение, получим:

[ \frac{\frac{1}{2}AD - \frac{1}{3} \times 3BC}{\frac{2}{3} \times 3BC} \cdot \frac{DO}{OC} = 1 ]

После упрощения соотношений и сокращения, мы приходим к выводу, что:

[ \frac{DO}{OC} = 1 ]

Следовательно, (DO = OC), и точка (O) является серединой отрезка (BD). Это означает, что (BO = OD), что и требовалось доказать.

Доказательство: Пусть точка O делит отрезок AK в отношении m:n. Тогда по теореме Менелая для треугольника ABD и прямой KOC имеем: $$\frac{AO}{OK} \cdot \frac{KC}{CD} \cdot \frac{DB}{BA} = 1$$ Подставляем CK:KD=1:2 и BC:AD=1:2: $$\frac{AO}{OK} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = 1$$ $$\frac{AO}{OK} = 3$$ То есть, точка O делит отрезок AK в отношении 3:1, следовательно, BO=OD.

Доказательство:

Пусть точка O делит отрезок AK в отношении m:n, тогда по теореме Менелая для треугольника ABD и точек K, O, C:

(AB / BD) (DK / KA) (AO / OB) = 1.

Так как AD = 2BC, то AB = 3BC. Также CK:KD = 1:2, значит DK = 2x, KC = x, AD = 2BC = 2x + 3x = 5x. Тогда AK = 3x.

Подставляем все значения в уравнение:

(3BC / BD) (2x / 3x) (3x / BO) = 1.

Упрощаем:

(6 / BD) (2 / 3) (3 / BO) = 1, 4 / BD = BO, BD = 4BO.

Так как BC:AD = 1:2, то BD = 3BC, тогда 3BC = 4BO, откуда BO = 3/4 BC = 3/4 AD = OD.

Таким образом, доказано, что если BC:AD=1:2, то BO=OD.