В трапеции ABCD (AD и ВС основания) диагонали пересекаются в точке О, AD = 12 см, ВС = 4 см. Найдите...

Чтобы найти площадь треугольника ( \triangle BOC ), нужно понять, как связаны площади треугольников, образованных диагоналями трапеции.

Исходные данные:

• Трапеция ( ABCD ) с основаниями ( AD ) и ( BC ).
• Диагонали ( AC ) и ( BD ) пересекаются в точке ( O ).
• ( AD = 12 \, \text{см}, \, BC = 4 \, \text{см} ).
• Площадь треугольника ( \triangle AOD = 45 \, \text{см}^2 ).

Свойства диагоналей трапеции:

В трапеции диагонали делят друг друга в одном и том же отношении, равном отношению длин оснований. Это свойство следует из подобия треугольников, образованных диагоналями. Обозначим длины оснований трапеции как ( AD = a ) и ( BC = b ). Тогда:

[ \frac{AO}{OC} = \frac{AD}{BC} = \frac{a}{b}, \quad \frac{BO}{OD} = \frac{AD}{BC} = \frac{a}{b}. ]

Подставляем данные: ( a = 12 ), ( b = 4 ), значит, ( \frac{AO}{OC} = \frac{12}{4} = 3 ). Следовательно, точка ( O ) делит каждую диагональ в отношении ( 3:1 ).

Связь площадей треугольников:

Диагонали делят трапецию на четыре треугольника: ( \triangle AOD ), ( \triangle BOC ), ( \triangle BOA ), ( \triangle COD ). Площади этих треугольников пропорциональны произведению длин отрезков, на которые точка ( O ) делит диагонали.

В данном случае, из отношения ( \frac{AO}{OC} = 3 ) и ( \frac{BO}{OD} = 3 ), следует, что:

[ \text{Площадь } \triangle AOD : \text{Площадь } \triangle BOC = \frac{AO \cdot OD}{BO \cdot OC} = \frac{3 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 9. ]

То есть, отношение площадей ( \triangle AOD ) и ( \triangle BOC ) равно ( 9:1 ).

Вычисление площади ( \triangle BOC ):

Площадь ( \triangle AOD = 45 \, \text{см}^2 ). Площадь ( \triangle BOC ) в 9 раз меньше:

[ \text{Площадь } \triangle BOC = \frac{\text{Площадь } \triangle AOD}{9} = \frac{45}{9} = 5 \, \text{см}^2. ]

Ответ:

Площадь треугольника ( \triangle BOC ) составляет 5 см².

Для решения задачи воспользуемся свойствами трапеции и соотношением площадей треугольников, образованных диагоналями.

В трапеции ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Обозначим площади треугольников, образованных этими диагоналями:

• Площадь треугольника AOD равна ( S_{AOD} = 45 \, \text{см}^2 ).
• Обозначим площадь треугольника BOC как ( S_{BOC} ).

Существует важное свойство трапеции: отношение площадей треугольников, образованных диагоналями, пропорционально длинам оснований. То есть:

[ \frac{S{AOD}}{S{BOC}} = \frac{AD}{BC} ]

Подставим известные значения:

• ( AD = 12 \, \text{см} )
• ( BC = 4 \, \text{см} )

Тогда:

[ \frac{45}{S_{BOC}} = \frac{12}{4} ]

Упростим дробь:

[ \frac{12}{4} = 3 ]

Теперь у нас есть уравнение:

[ \frac{45}{S_{BOC}} = 3 ]

Решим его относительно ( S_{BOC} ):

[ S_{BOC} = \frac{45}{3} = 15 \, \text{см}^2 ]

Теперь мы нашли площадь треугольника BOC. Если нам нужно найти площадь треугольника VOS, то можем воспользоваться тем, что площадь треугольника VOS будет равна площади треугольника BOC, так как они равны по пропорциям оснований и находятся на одной и той же высоте от точки O.

Таким образом, площадь треугольника BOC равна 15 см².