В трапеции ABCD продолжение боковых сторон пересекаются к точке K причем точка B середина отрезка AK...

Сумма оснований трапеции ABCD равна 24 см.

Для решения данной задачи нам необходимо использовать свойства треугольников и трапеции.

Обозначим точку пересечения продолжений боковых сторон трапеции ABCD за K. Так как точка B является серединой отрезка AK, то отрезок BK также равен отрезку KA. Поскольку точка K - точка пересечения диагоналей трапеции, то треугольник DKB равнобедренный, так как его боковые стороны равны (DB = BK) и углы при основании равны (по свойству равнобедренного треугольника).

Таким образом, мы можем рассмотреть треугольник DKB. Для него мы можем записать равенство сторон DK и DB: DK = DB = 12 см (по условию). Также, угол при вершине K равен углу при вершине D, так как треугольник DKB равнобедренный. Из свойства равнобедренного треугольника следует, что угол при основании треугольника равен (180° - 2α), где α - угол при вершине. Следовательно, угол DKB равен (180° - 2α), а угол BDK равен α.

Теперь рассмотрим треугольник DAK. Он также равнобедренный, так как отрезок BK равен отрезку KA. Из свойства равнобедренного треугольника следует, что угол при вершине DAK равен углу при вершине DKA, а угол при вершине AKD равен углу при вершине DAK.

Как следствие, у нас получается, что угол BDK равен углу AKD. Таким образом, треугольники DKB и DAK подобны (по признаку углов), и их стороны пропорциональны.

Давайте обозначим основания трапеции ABCD за a и b. По свойству подобных треугольников, мы можем записать следующее:

a/12 = 12/b

Отсюда находим, что a = 144/b.

Также, по условию, сумма оснований трапеции равна сумме сторон треугольника DKB:

a + b = 24

Теперь подставляем найденное значение a = 144/b в уравнение a + b = 24:

144/b + b = 24

Далее решаем уравнение и находим значения оснований трапеции a и b.

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойствами трапеции и фактом о том, что точка ( B ) является серединой отрезка ( AK ).

1. Свойства трапеции и продолжения боковых сторон: Пусть ( AB ) и ( CD ) - боковые стороны трапеции ( ABCD ) (где ( AB ) и ( CD ) могут быть как неравными, так и равными), а ( AD ) и ( BC ) - основания, причём ( AD = 12 ) см. Продолжения боковых сторон ( AB ) и ( CD ) пересекаются в точке ( K ).

2. Середина отрезка ( AK ): Так как ( B ) является серединой отрезка ( AK ), это означает, что отрезок ( AB ) равен отрезку ( BK ). Это ключевой момент задачи.

3. Симметричность и свойства подобия: Так как ( B ) середина ( AK ), а линии ( AB ) и ( CD ) - продолжение друг друга, то трапеция ( ABCD ) является равнобедренной. Следовательно, ( AB = CD ) и ( BC = AD ).

4. Использование условия ( AD = 12 ) см: Равенство ( BC = AD ) даёт ( BC = 12 ) см.

5. Сумма оснований трапеции: Сумма оснований ( AD ) и ( BC ) составляет ( 12 + 12 = 24 ) см.

Таким образом, сумма оснований трапеции ( ABCD ) равна 24 см.