В тре­уголь­ни­ке АВС угол В равен 56°, угол С равен 64°, ВС= 3√3 . Най­ди­те ра­ди­ус опи­сан­ной около...

Для решения задачи найдем радиус описанной окружности около треугольника ( \triangle ABC ).

Шаг 1. Найдем угол ( A ).

Сумма углов треугольника равна ( 180^\circ ). Значит, угол ( A ) равен: [ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 56^\circ - 64^\circ = 60^\circ. ]

Шаг 2. Связь между радиусом описанной окружности и длиной стороны.

Формула для радиуса ( R ) описанной окружности через сторону ( a ) и угол ( A ) записывается как: [ R = \frac{a}{2 \sin A}, ] где ( a ) — сторона треугольника, лежащая напротив угла ( A ), а ( A ) — угол между сторонами ( b ) и ( c ).

В данном случае сторона ( BC ) (которая составляет ( a )) равна ( 3\sqrt{3} ), а угол ( A = 60^\circ ).

Шаг 3. Подставим значения в формулу.

Подставляем в формулу: [ R = \frac{a}{2 \sin A} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot \sin 60^\circ}. ]

Шаг 4. Найдем ( \sin 60^\circ ).

Значение ( \sin 60^\circ ) равно ( \frac{\sqrt{3}}{2} ). Подставим это в формулу: [ R = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}. ]

Сократим ( \sqrt{3} ) в числителе и знаменателе: [ R = \frac{3}{2}. ]

Ответ:

Радиус описанной окружности равен: [ \boxed{\frac{3}{2}}. ]

Для нахождения радиуса описанной окружности треугольника ( R ) можно использовать формулу:

[ R = \frac{abc}{4S} ]

где ( a, b, c ) — длины сторон треугольника, а ( S ) — площадь треугольника.

Сначала мы найдем угол ( A ) треугольника. Сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ):

[ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 56^\circ - 64^\circ = 60^\circ ]

Теперь мы можем использовать закон синусов для нахождения сторон ( a ), ( b ) и ( c ) треугольника:

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R ]

Здесь ( c = AB ), ( a = BC = 3\sqrt{3} ), и ( b = AC ).

Исходя из этого, можем выразить стороны через ( R ):

[ c = 2R \cdot \sin A = 2R \cdot \sin 60^\circ = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = R\sqrt{3} ] [ b = 2R \cdot \sin B = 2R \cdot \sin 56^\circ ] [ a = 2R \cdot \sin C = 2R \cdot \sin 64^\circ ]

Теперь мы можем найти площадь треугольника ( S ) с помощью формулы:

[ S = \frac{1}{2}ab\sin C ]

Подставляя значения для сторон ( a ) и ( b ):

[ S = \frac{1}{2} \cdot (2R \cdot \sin 56^\circ) \cdot (R \sqrt{3}) \cdot \sin 64^\circ = R^2 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 56^\circ \cdot \sin 64^\circ ]

Теперь подставим значение площади ( S ) в формулу для радиуса ( R ):

[ R = \frac{abc}{4S} = \frac{(3\sqrt{3}) \cdot (2R \cdot \sin 56^\circ) \cdot (R \sqrt{3})}{4 \cdot (R^2 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 56^\circ \cdot \sin 64^\circ)} ]

Упрощая это выражение, мы можем избавиться от ( R^2 ) и других множителей:

[ R = \frac{3\sqrt{3} \cdot 2R \cdot \sin 56^\circ \cdot R \sqrt{3}}{4 \cdot R^2 \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 56^\circ \cdot \sin 64^\circ} ]

После упрощения и сокращения получаем:

[ R = \frac{3 \cdot 2R \cdot \sin 64^\circ}{4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin 56^\circ} ]

Теперь мы можем решить уравнение и выразить ( R ):

[ R = \frac{3 \cdot \sin 64^\circ}{\sin 56^\circ} ]

Теперь подставим значения синусов. Если использовать приближенные значения:

(\sin 56^\circ \approx 0.829) и (\sin 64^\circ \approx 0.898):

[ R \approx \frac{3 \cdot 0.898}{0.829} \approx \frac{2.694}{0.829} \approx 3.25 ]

Таким образом, радиус описанной окружности ( R ) около треугольника ( ABC ) примерно равен ( 3.25 ).