В треугольник ABC и A1B1C1 AB=A1B1 ,угол А = углу А1 , угол В=В1 .на сторонах ВС и В1С1 отмечены точки...

Чтобы доказать, что треугольники ADB и A1D1B1 равны, воспользуемся условиями, данными в задаче.

1. У нас есть равные стороны AB = A1B1.
2. Углы A = A1 и B = B1.
3. Углы CAD = C1A1D1.

Теперь применим признак равенства треугольников (по двум углам и стороне):

• Углы A и A1 равны (угол A = угол A1).
• Углы B и B1 равны (угол B = угол B1).
• Углы CAD и C1A1D1 равны.

Таким образом, в треугольниках ADB и A1D1B1:

• Угол ADB равен углу A1D1B1 (по равенству углов CAD и C1A1D1).
• Сторона AB равна стороне A1B1 (по условию).
• Угол ADB и A1D1B1 равны, так как это соответствующие углы при равной стороне.

Поэтому, по двум углам и стороне, треугольники ADB и A1D1B1 равны: [ \triangle ADB \cong \triangle A1D1B1. ]

Для доказательства того, что треугольник ( ADB ) равен треугольнику ( A_1D_1B_1 ), мы будем использовать свойства равенства треугольников и некоторые теоремы о равенстве углов.

1. Дано:

   • Треугольники ( ABC ) и ( A_1B_1C_1 ) такие, что ( AB = A_1B_1 ), ( \angle A = \angle A_1 ), ( \angle B = \angle B_1 ).
   • На сторонах ( BC ) и ( B_1C_1 ) отмечены точки ( D ) и ( D_1 ) соответственно, так что ( \angle CAD = \angle C_1A_1D_1 ).

2. Цель:

   • Доказать, что треугольники ( ADB ) и ( A_1D_1B_1 ) равны.

3. Доказательство:

   • По условию, у нас есть равенство отрезков: ( AB = A_1B_1 ).
   • Также известно, что ( \angle A = \angle A_1 ) и ( \angle B = \angle B_1 ).

   Теперь давайте рассмотрим углы:

   • Угол ( \angle ADB ) в треугольнике ( ADB ) можно выразить через известные углы: [ \angle ADB = 180^\circ - \angle A - \angle B. ]
   • Аналогично, угол ( \angle A_1D_1B_1 ) в треугольнике ( A_1D_1B_1 ): [ \angle A_1D_1B_1 = 180^\circ - \angle A_1 - \angle B_1. ]
   • Поскольку ( \angle A = \angle A_1 ) и ( \angle B = \angle B_1 ), то: [ \angle ADB = \angle A_1D_1B_1. ]

   Теперь у нас есть:

   • ( AB = A_1B_1 ) (по условию);
   • ( \angle A = \angle A_1 );
   • ( \angle B = \angle B_1 );
   • ( \angle ADB = \angle A_1D_1B_1 ).

   У нас есть две стороны и угол между ними в одном треугольнике равны двум сторонам и углу между ними в другом треугольнике. Это соответствует критерию равенства треугольников по стороне-углу-стороне (SAS).

Таким образом, по критерию SAS, треугольники ( ADB ) и ( A_1D_1B_1 ) равны: [ \triangle ADB \cong \triangle A_1D_1B_1. ]

Это завершает доказательство.

Давайте разберёмся с задачей подробно и докажем, что (\triangle ADB \cong \triangle A_1D_1B_1).

Дано:

1. Два треугольника (\triangle ABC) и (\triangle A_1B_1C_1), для которых:
   • (AB = A_1B_1),
   • (\angle A = \angle A_1),
   • (\angle B = \angle B_1).
2. На сторонах (BC) и (B_1C_1) взяты точки (D) и (D_1) соответственно, такие, что:
   • (\angle CAD = \angle C_1A_1D_1).

Требуется доказать:

(\triangle ADB \cong \triangle A_1D_1B_1).

Доказательство:

1. Равенство сторон (AB = A_1B_1):

По условию, стороны (AB) и (A_1B_1) равны.

2. Равенство углов:

По условию, (\angle A = \angle A_1) и (\angle B = \angle B_1). Это значит, что треугольники (\triangle ABC) и (\triangle A_1B_1C_1) подобны по двум углам.

3. Равенство углов (\angle CAD = \angle C_1A_1D_1):

По условию, углы (\angle CAD) и (\angle C_1A_1D_1) равны.

4. Рассмотрим треугольники (\triangle ADB) и (\triangle A_1D_1B_1):

Теперь у нас есть основания для доказательства равенства треугольников (\triangle ADB) и (\triangle A_1D_1B_1):

1. Первое равенство сторон: (AB = A_1B_1) (по условию).

2. Равенство углов: (\angle ADB = \angle A_1D_1B_1): Рассмотрим углы (\angle ADB) и (\angle A_1D_1B_1). Заметим, что они являются внешними углами к углам (\angle CAD) и (\angle C_1A_1D_1) соответственно. Поскольку (\angle CAD = \angle C_1A_1D_1), то и (\angle ADB = \angle A_1D_1B_1).

3. Равенство углов: (\angle A = \angle A_1): По условию.

5. Вывод:

По первому признаку равенства треугольников ((сторона)-(угол)-(сторона)), мы можем утверждать, что: [ \triangle ADB \cong \triangle A_1D_1B_1. ]