В треугольник с основанием AC=9 см и высотой BD=13 см вписан квадрат KLMN так, что сторона KN лежит...

Для решения задачи начнем с того, что мы имеем треугольник ( ABC ) с основанием ( AC = 9 ) см и высотой ( BD = 13 ) см. Мы хотим вписать квадрат ( KLMN ) таким образом, чтобы его основание ( KN ) лежало на основании ( AC ), а вершины ( L ) и ( M ) находились на сторонах ( AB ) и ( BC ) соответственно.

Обозначим сторону квадрата как ( x ). Поскольку квадрат ( KLMN ) вписывается в треугольник, то высота, проведенная из точки ( D ) на основание ( AC ), делит треугольник на две части, где высота ( BD ) равна 13 см.

Рассмотрим высоту ( L ) и ( M ) от сторон ( AB ) и ( BC ) до основания ( AC ). Поскольку ( KN ) — это основание квадрата, у нас есть следующие отношения:

1. Высота, проведенная из точки ( L ), равна ( 13 - x ), поскольку вся высота ( BD ) равна 13 см, а высота квадрата составляет ( x ) см.
2. Аналогично, высота от точки ( M ) также равна ( 13 - x ).

Теперь нам необходимо применить свойства треугольников, чтобы выразить длину стороны квадрата ( x ). Поскольку треугольник ( ABC ) можно разбить на два меньших треугольника ( ABD ) и ( BDC ), мы можем использовать подобие треугольников.

Сначала найдем площади треугольника ( ABC ):

[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 13 = 58.5 \, \text{см}^2. ]

Теперь рассмотрим, как площадь треугольника со сторонами ( L, x, M ) соотносится с площадью большого треугольника. Площадь треугольника ( KLM ) можно выразить через его основание ( KN = x ) и высоту ( 13 - x ):

[ S_{KLM} = \frac{1}{2} \cdot x \cdot (13 - x). ]

Эта площадь должна быть равна площади, отведенной под квадрат, поэтому:

[ S{KLM} + S{KLM} = S_{ABC}. ]

Учитывая, что два треугольника ( ABD ) и ( BDC ) имеют одинаковую высоту, мы получаем следующее уравнение:

[ \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 13 = x(13 - x), ]

что можно переписать как:

[ 58.5 = x(13 - x). ]

Раскроем скобки:

[ 58.5 = 13x - x^2. ]

Переносим всё в одну сторону:

[ x^2 - 13x + 58.5 = 0. ]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

[ D = b^2 - 4ac = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 58.5 = 169 - 234 = -65. ]

Так как дискриминант отрицательный, у нас нет действительных корней, что указывает на то, что квадрат не может быть вписан в данный треугольник с такими параметрами.

Таким образом, мы пришли к выводу, что в данном треугольнике квадрат с основанием ( KN ) не может быть вписан. Возможно, необходимо пересмотреть условия задачи или размеры треугольника.

Чтобы определить длину стороны вписанного квадрата ( KLMN ), рассмотрим задачу последовательно.

Дано:

1. Треугольник ( ABC ):
   • Основание ( AC = 9 \, \text{см} ),
   • Высота ( BD = 13 \, \text{см} ), где ( D ) — точка пересечения высоты с основанием ( AC ).
2. Квадрат ( KLMN ), вписанный в треугольник:
   • Сторона ( KN ) лежит на основании ( AC ),
   • Вершины ( L ) и ( M ) лежат на сторонах ( AB ) и ( BC ) соответственно.

Требуется найти длину стороны квадрата ( a ).

Решение:

1. Площадь треугольника ( ABC ):

Площадь треугольника вычисляется как: [ S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 13 = 58.5 \, \text{см}^2. ]

1. Расположение квадрата внутри треугольника:

Пусть длина стороны квадрата равна ( a ). Квадрат разделяет треугольник на три части:

• Верхний малый треугольник (над квадратом),
• Два боковых треугольника (по сторонам квадрата).

Мы выразим площади всех частей треугольника через длину стороны квадрата ( a ).

1. Координаты и пропорциональность:

Треугольник ( ABC ) можно рассмотреть как фигуру с вершинами:

• ( A(0, 0) ),
• ( C(9, 0) ),
• ( B ) где-то на высоте ( BD = 13 ).

Квадрат делит стороны треугольника пропорционально. Вершины квадрата:

• ( K ) и ( N ) лежат на основании ( AC ), то есть их координаты — ( K(x, 0) ) и ( N(x+a, 0) ),
• ( L ) лежит на стороне ( AB ), а ( M ) — на стороне ( BC ).

Координаты точек ( L ) и ( M ) определяются из подобия треугольников.

1. Подобие треугольников:

Рассмотрим треугольники, образованные квадратом и сторонами ( AB ), ( BC ):

• Верхний треугольник (над квадратом),
• Боковые треугольники.

Из условия подобия треугольников следует, что стороны квадрата ( a ) пропорциональны сторонам треугольника.

1. Формула для длины стороны квадрата:

Известно, что длина стороны вписанного квадрата в треугольник с основанием ( AC ) и высотой ( BD ) задаётся формулой: [ a = \frac{AC \cdot BD}{AC + BD}. ]

Подставляем значения: [ a = \frac{9 \cdot 13}{9 + 13} = \frac{117}{22} \approx 5.32 \, \text{см}. ]

Ответ:

Длина стороны вписанного квадрата равна приблизительно ( 5.32 \, \text{см} ).