В треугольниках ABC и A1B1C1 угол А=углу А1, В=В1,АВ=А1В1.Точки D и D1- середины отрезков AC И А1С1...

Для доказательства того, что ( BD = B_1D_1 ), рассмотрим треугольники ( ABC ) и ( A_1B_1C_1 ).

1. Дано:

   • ( \angle A = \angle A_1 )
   • ( \angle B = \angle B_1 )
   • ( AB = A_1B_1 )
   • ( D ) и ( D_1 ) — середины отрезков ( AC ) и ( A_1C_1 ) соответственно.

2. Требуется доказать:

   • ( BD = B_1D_1 )

3. Рассмотрим шаги доказательства:

   Шаг 1: Треугольники ( ABC ) и ( A_1B_1C_1 ) подобны

   • Так как ( \angle A = \angle A_1 ) и ( \angle B = \angle B_1 ), треугольники ( ABC ) и ( A_1B_1C_1 ) имеют два равных угла.
   • По признаку подобия треугольников по двум углам, (\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1).

   Шаг 2: Пропорциональность сторон

   • Из подобия треугольников следует, что их соответствующие стороны пропорциональны: [ \frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} ]
   • Но у нас также дано, что ( AB = A_1B_1 ). Тогда: [ \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1} = 1 ]
   • Следовательно, ( BC = B_1C_1 ) и ( AC = A_1C_1 ).

   Шаг 3: Середины отрезков ( AC ) и ( A_1C_1 )

   • Пусть ( D ) — середина ( AC ), тогда ( AD = DC ).
   • Пусть ( D_1 ) — середина ( A_1C_1 ), тогда ( A_1D_1 = D_1C_1 ).

   Шаг 4: Соответствие медиан

   • В треугольнике ( ABC ) медиана ( BD ) делит сторону ( AC ) на два равных отрезка.
   • В треугольнике ( A_1B_1C_1 ) медиана ( B_1D_1 ) делит сторону ( A_1C_1 ) на два равных отрезка.
   • Поскольку ( AC = A_1C_1 ) и ( D ) и ( D_1 ) являются серединами этих отрезков, то ( AD = A_1D_1 ) и ( DC = D_1C_1 ).

   Шаг 5: Равенство медиан ( BD ) и ( B_1D_1 )

   • В треугольниках ( ABD ) и ( A_1B_1D_1 ):
     • ( AB = A_1B_1 )
     • ( AD = A_1D_1 )
     • ( BD ) и ( B_1D_1 ) — медианы, проведенные к равным сторонам.
   • Из подобия треугольников и равенства соответственных сторон следует, что и медианы ( BD ) и ( B_1D_1 ) равны.

Таким образом, доказано, что ( BD = B_1D_1 ).

Для начала докажем, что треугольники ABD и A1B1D1 подобны.

Из условия задачи мы знаем, что угол A равен углу A1, угол B равен углу B1, и отрезки AB и A1B1 равны между собой. Таким образом, по двум углам и общему отрезку треугольники ABD и A1B1D1 подобны.

Теперь мы можем утверждать, что отношение сторон равно отношению высот, опущенных из вершин сходных углов. Из подобия треугольников ABD и A1B1D1 следует, что BD/BD1 = AB/A1B1.

Так как AB = A1B1 по условию, то BD = BD1. Таким образом, мы доказали, что отрезки BD и BD1 равны между собой.

Итак, получается, что BD = BD1, что и требовалось доказать.

Доказательство: 1) Поскольку AD и AD1 - медианы треугольников ABC и A1B1C1, то BD = CD и B1D1 = C1D1. 2) Так как BD = CD и B1D1 = C1D1, то треугольники BCD и B1C1D1 равны по сторонам. 3) Из пункта 2 следует, что угол BDC равен углу B1D1C1. 4) Так как AB = A1B1 и BC = B1C1, то треугольники ABC и A1B1C1 равны по сторонам. 5) Из пункта 4 следует, что угол BAC равен углу B1A1C1. 6) Так как угол BAC равен углу B1A1C1, а угол BDC равен углу B1D1C1, то треугольники BDC и B1D1C1 равны по двум углам и общей стороне. 7) Из пункта 6 следует, что BD = B1D1.