В треугольнике ABC AB=8 корней из 2 угол C=45 градусов A=30 градусов Найдите длину стороны BC

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов. Согласно этой теореме, отношение длины сторон треугольника к синусам их противолежащих углов равно одной и той же константе. Таким образом, мы можем записать:

AB / sin(C) = BC / sin(A)

Подставим известные значения:

8√2 / sin(45) = BC / sin(30)

8√2 / (√2/2) = BC / (1/2)

16 = BC / 1/2

BC = 16 * 2 = 32

Таким образом, длина стороны BC равна 32.

Для решения этой задачи мы можем использовать теорему синусов, которая в треугольнике ABC формулируется как:

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ]

Где ( a ), ( b ), и ( c ) — длины сторон, а ( A ), ( B ), и ( C ) — углы, соответственно напротив этих сторон.

Нам известно, что:

• ( AB = c = 8\sqrt{2} )
• ( \angle C = 45^\circ )
• ( \angle A = 30^\circ )

Сначала найдем третий угол, ( \angle B ), используя свойство суммы углов в треугольнике:

[ \angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ ]

Теперь, применяя теорему синусов, найдём длину стороны ( BC = a ):

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} ]

Подставим известные значения:

[ \frac{a}{\sin 30^\circ} = \frac{8\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} ]

Значения синусов для данных углов:

[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ]

Теперь подставим это в уравнение:

[ \frac{a}{\frac{1}{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} ]

Упростим правую часть:

[ \frac{8\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 8\sqrt{2} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 8 \times 2 = 16 ]

Теперь решим уравнение для ( a ):

[ 2a = 16 \quad \Rightarrow \quad a = 8 ]

Таким образом, длина стороны ( BC ) равна 8.

Длина стороны BC равна 8.