В треугольнике ABC AC =BC=20, cos A=0,75. Найдите AB. Задача 2. Чему равен больший угол равнобедренности...

Задача 1: Найти AB в треугольнике ABC

Дан треугольник ( \triangle ABC ), в котором ( AC = BC = 20 ) (равнобедренный треугольник), и ( \cos A = 0.75 ). Требуется найти длину стороны ( AB ).

Шаг 1: Используем теорему косинусов

В равнобедренном треугольнике теорема косинусов для стороны ( AB ) записывается как: [ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot \cos A. ] Подставим известные данные:

• ( AC = BC = 20 ),
• ( \cos A = 0.75 ).

Подставим всё в формулу: [ AB^2 = 20^2 + 20^2 - 2 \cdot 20 \cdot 20 \cdot 0.75. ] Посчитаем: [ AB^2 = 400 + 400 - 2 \cdot 20 \cdot 20 \cdot 0.75, ] [ AB^2 = 800 - 600 = 200. ]

Шаг 2: Найдём ( AB )

[ AB = \sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = 10\sqrt{2}. ]

Ответ: ( AB = 10\sqrt{2} ) или приближённо ( AB \approx 14.14 ).

Задача 2: Найти больший угол равнобедренной трапеции

Дана равнобедренная трапеция, в которой разность противолежащих углов равна ( 46^\circ ). Требуется найти больший угол.

Шаг 1: Свойства углов равнобедренной трапеции

В равнобедренной трапеции:

• Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна ( 180^\circ ). Например: [ \alpha + \beta = 180^\circ, ] где ( \alpha ) и ( \beta ) — углы у основания трапеции, а ( \alpha > \beta ).
• По условию, разность противолежащих углов равна ( 46^\circ ): [ \alpha - \beta = 46^\circ. ]

Шаг 2: Решим систему уравнений

У нас есть две зависимости:

1. ( \alpha + \beta = 180^\circ, )
2. ( \alpha - \beta = 46^\circ. )

Сложим эти два уравнения: [ (\alpha + \beta) + (\alpha - \beta) = 180^\circ + 46^\circ, ] [ 2\alpha = 226^\circ. ] Найдём ( \alpha ): [ \alpha = \frac{226^\circ}{2} = 113^\circ. ]

Теперь найдём ( \beta ), подставив ( \alpha = 113^\circ ) в первое уравнение: [ 113^\circ + \beta = 180^\circ, ] [ \beta = 180^\circ - 113^\circ = 67^\circ. ]

Шаг 3: Ответ на задачу

Больший угол равен ( \alpha = 113^\circ ).

Ответ: ( 113^\circ ).

Задача 1

В треугольнике ABC, где AC = BC = 20 и cos A = 0.75, необходимо найти длину стороны AB.

1. Вычислим угол A: Используем формулу для косинуса угла: [ \cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} ] Здесь:

   • ( b = AC = 20 )
   • ( c = BC = 20 )
   • ( a = AB )

   Подставим известные значения: [ 0.75 = \frac{20^2 + 20^2 - a^2}{2 \cdot 20 \cdot 20} ] [ 0.75 = \frac{400 + 400 - a^2}{800} ] Умножим обе стороны на 800: [ 600 = 800 - a^2 ] [ a^2 = 800 - 600 = 200 ] [ a = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} ]

Таким образом, длина стороны AB равна ( 10\sqrt{2} ) или примерно 14.14.

Задача 2

В равнобедренной трапеции пусть ( \alpha ) и ( \beta ) - это противолежащие углы. Из условия задачи известно, что разность противолежащих углов равна 46°: [ |\alpha - \beta| = 46° ] В равнобедренной трапеции углы ( \alpha ) и ( \beta ) можно обозначить как:

• ( \alpha = x )
• ( \beta = x - 46° ) (если ( \alpha > \beta ))

Сумма углов в трапеции равна 360°, и так как в равнобедренной трапеции два угла равны, мы можем записать: [ 2x + 2\beta = 360° ] или [ 2x + 2(x - 46°) = 360° ] Преобразуем уравнение: [ 2x + 2x - 92° = 360° ] [ 4x - 92° = 360° ] [ 4x = 452° ] [ x = 113° ]

Так как ( x ) - это больший угол равнобедренности трапеции, то: [ \alpha = 113° ]

Таким образом, больший угол равнобедренности трапеции равен 113°.