В треугольнике ABC BC=10см, AC=8см,sinA=5/8.Найдите sinB

Для нахождения (\sin B) в треугольнике ABC, где известны стороны (BC = a = 10 \, \text{см}), (AC = b = 8 \, \text{см}) и (\sin A = \frac{5}{8}), можно воспользоваться теоремой синусов и формулой для нахождения угла.

Сначала найдем сторону (AB) (обозначим её (c)) с помощью теоремы синусов, которая гласит, что отношение длины стороны треугольника к синусу противолежащего угла одинаково для всех сторон:

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ]

Отсюда, мы можем выразить (\sin B):

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \implies \sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} ]

Подставим известные значения:

[ \sin B = \frac{8 \cdot \frac{5}{8}}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} ]

Таким образом, (\sin B = \frac{1}{2}).

Теперь, чтобы найти угол (B), мы можем использовать обратную функцию синуса:

[ B = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) ]

Известно, что (\arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ) или (B = \frac{\pi}{6}) радиан.

Таким образом, мы нашли, что (\sin B = \frac{1}{2}).

Для нахождения (\sin B) можно использовать закон синусов:

[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ]

Где (a = BC = 10 \, \text{см}), (b = AC = 8 \, \text{см}), и (\sin A = \frac{5}{8}).

Сначала найдем (b) в зависимости от (a) и (\sin A):

[ \frac{10}{\frac{5}{8}} = \frac{8}{\sin B} ]

Теперь выразим (\sin B):

[ \sin B = \frac{8 \cdot \frac{5}{8}}{10} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} ]

Таким образом, (\sin B = \frac{1}{2}).

Решим задачу пошагово, используя известные данные.

Дано:

1. ( BC = 10 \, \text{см} ) (сторона треугольника).
2. ( AC = 8 \, \text{см} ) (сторона треугольника).
3. ( \sin A = \frac{5}{8} ).

Найти:

( \sin B ) (синус угла ( B )).

Шаг 1. Выразим высоту ( h ), опущенную из вершины ( A ) на сторону ( BC ).

Из определения синуса: [ \sin A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}}. ] В данном случае противолежащий катет — это высота ( h ), опущенная из вершины ( A ) на сторону ( BC ), а гипотенуза — это сторона ( AC ). Таким образом: [ \sin A = \frac{h}{AC}. ] Подставим известные значения: [ \frac{5}{8} = \frac{h}{8}. ] Умножаем обе части уравнения на ( 8 ): [ h = 5 \, \text{см}. ]

Шаг 2. Найдем основание проекции ( AB ) на сторону ( BC ).

Обозначим длину проекции ( AB ) на сторону ( BC ) как ( x ), а длину проекции ( AC ) как ( y ). Поскольку ( BC = 10 ), то: [ x + y = 10. ]

Сначала выразим ( x ). По теореме Пифагора для треугольника ( AHB ) (где ( H ) — основание высоты ( h ) на сторону ( BC )): [ AB^2 = h^2 + x^2. ] Подставим ( h = 5 ): [ AB^2 = 5^2 + x^2. ] [ AB^2 = 25 + x^2. ]

Теперь рассмотрим треугольник ( AHC ): [ AC^2 = h^2 + y^2. ] [ 8^2 = 5^2 + y^2. ] [ 64 = 25 + y^2. ] [ y^2 = 39. ]

Шаг 3. Найдем ( AB ) через теорему косинусов.

Используем теорему косинусов для треугольника ( ABC ): [ AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos A. ]