В треугольнике ABC стороны AB=4, BC=5см, BD- биссектриса. Найдите отношение площади треугольника ABD...

Ответ: Отношение площади треугольника ABD к площади треугольника ABC равно 1:3.

В треугольнике ABC дана биссектриса BD, которая делит сторону AC на два отрезка AD и DC. Нам нужно найти отношение площадей треугольников ABD и ABC.

Согласно теореме о биссектрисе, отношение отрезков, на которые биссектриса делит противоположную сторону, равно отношению длин прилежащих сторон: [ \frac{AD}{DC} = \frac{AB}{BC} = \frac{4}{5}. ]

Таким образом, если мы обозначим AD = 4x и DC = 5x, то AC = AD + DC = 4x + 5x = 9x.

Теперь рассмотрим отношение площадей треугольников. Площадь треугольника можно выразить через основание и высоту. Поскольку высота из вершины B будет общей для обоих треугольников (ABD и BDC), отношение их площадей будет равно отношению оснований AD и AC: [ \frac{S{ABD}}{S{ABC}} = \frac{AD}{AC}. ]

Подставим известные значения: [ \frac{S{ABD}}{S{ABC}} = \frac{4x}{9x} = \frac{4}{9}. ]

Таким образом, отношение площади треугольника ABD к площади треугольника ABC равно (\frac{4}{9}).

Для того чтобы найти отношение площади треугольника ABD к площади треугольника ABC, нам необходимо выразить площади этих треугольников через их стороны.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле S = 0.5 a b * sin(C), где a и b - длины сторон треугольника, C - угол между этими сторонами.

Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу: S(ABC) = 0.5 AB BC sin(A) = 0.5 4 5 sin(A) = 10 * sin(A).

Теперь нам необходимо найти угол A. Мы можем воспользоваться теоремой косинусов: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2 b c), где a, b, c - длины сторон треугольника, а A - угол против стороны a.

Известно, что BD - биссектриса треугольника ABC. Так как BD - биссектриса угла B, то угол ABD = угол ABC / 2. Таким образом, угол A = 2 * угол ABD.

Так как BD - биссектриса, то мы можем найти отношение сторон AD и DC: AD / CD = AB / BC = 4 / 5.

Теперь мы можем найти длины сторон AD и DC: AD = 4 BC / (AB + BC) = 4 5 / (4 + 5) = 20 / 9, CD = 5 AB / (AB + BC) = 5 4 / (4 + 5) = 20 / 9.

Теперь можем вычислить площадь треугольника ABD: S(ABD) = 0.5 AD BD sin(A) = 0.5 (20 / 9) 5 sin(2 ABD) = (100 / 9) sin(2 * ABD).

Отношение площади треугольника ABD к площади треугольника ABC: S(ABD) / S(ABC) = (100 / 9) sin(2 ABD) / (10 sin(A)) = 10 / 9 sin(2 * ABD) / sin(A).

Таким образом, мы можем найти отношение площади треугольника ABD к площади треугольника ABC, используя найденные значения углов и сторон треугольника.