В треугольнике abc точка m делит сторону ab на отрезки AM=3 MB=1, а точка N делит сторону BC на отрезки...

Для выражения вектора MN через векторы a=AB и b=AC, сначала найдем векторы AM и CN.

Вектор AM = 3/4 AB, так как точка M делит сторону AB в отношении 3:1. Вектор CN = 2/5 AC, так как точка N делит сторону BC в отношении 3:2.

Теперь найдем вектор MN, который можно представить как разность векторов CN и AM: MN = CN - AM MN = 2/5 AC - 3/4 AB

Таким образом, вектор MN выражается через векторы a=AB и b=AC следующим образом: MN = 2/5 AC - 3/4 AB

Вектор MN = (1/4)(3a - 2b)

Чтобы выразить вектор ( \overrightarrow{MN} ) через векторы ( \overrightarrow{a} = \overrightarrow{AB} ) и ( \overrightarrow{b} = \overrightarrow{AC} ), нам нужно сначала найти положение точек ( M ) и ( N ) относительно точек ( A ), ( B ) и ( C ).

Определение координат точек ( M ) и ( N )

1. Точка ( M ) делит отрезок ( AB ) в отношении ( 3:1 ). Это значит, что:

   [ \overrightarrow{AM} = \frac{3}{3+1} \overrightarrow{AB} = \frac{3}{4} \overrightarrow{a} ]

   Следовательно, вектор ( \overrightarrow{MB} ) равен:

   [ \overrightarrow{MB} = \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AM} = \overrightarrow{a} - \frac{3}{4} \overrightarrow{a} = \frac{1}{4} \overrightarrow{a} ]

2. Точка ( N ) делит отрезок ( BC ) в отношении ( 3:2 ). Это значит, что:

   [ \overrightarrow{BN} = \frac{3}{3+2} \overrightarrow{BC} = \frac{3}{5} (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) ]

   Следовательно, вектор ( \overrightarrow{NC} ) равен:

   [ \overrightarrow{NC} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} - \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{b} - \overrightarrow{a} - \frac{3}{5} (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = \frac{2}{5} (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) ]

Выражение вектора ( \overrightarrow{MN} )

Теперь мы можем выразить вектор ( \overrightarrow{MN} ) как разность векторов:

[ \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{AN} - \overrightarrow{AM} ]

Где:

[ \overrightarrow{AM} = \frac{3}{4} \overrightarrow{a} ]

И:

[ \overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BN} = \overrightarrow{a} + \frac{3}{5} (\overrightarrow{b} - \overrightarrow{a}) = \overrightarrow{a} + \frac{3}{5} \overrightarrow{b} - \frac{3}{5} \overrightarrow{a} = \frac{2}{5} \overrightarrow{a} + \frac{3}{5} \overrightarrow{b} ]

Таким образом, вектор ( \overrightarrow{MN} ) равен:

[ \overrightarrow{MN} = \left(\frac{2}{5} \overrightarrow{a} + \frac{3}{5} \overrightarrow{b}\right) - \frac{3}{4} \overrightarrow{a} ]

[ \overrightarrow{MN} = \left(\frac{2}{5} - \frac{3}{4}\right) \overrightarrow{a} + \frac{3}{5} \overrightarrow{b} ]

Приведем к общему знаменателю:

[ \frac{2}{5} = \frac{8}{20}, \quad \frac{3}{4} = \frac{15}{20} ]

Тогда:

[ \overrightarrow{MN} = \left(\frac{8}{20} - \frac{15}{20}\right) \overrightarrow{a} + \frac{3}{5} \overrightarrow{b} = -\frac{7}{20} \overrightarrow{a} + \frac{3}{5} \overrightarrow{b} ]

Итак, вектор ( \overrightarrow{MN} ) выражается через векторы ( \overrightarrow{a} ) и ( \overrightarrow{b} ) как:

[ \overrightarrow{MN} = -\frac{7}{20} \overrightarrow{a} + \frac{3}{5} \overrightarrow{b} ]