В треугольнике ABC, у которого все углы равны, проведена медиана BM. Из точки М опущен перпендикуляр...

В равностороннем треугольнике ABC медиана BM делит его на два равных прямоугольных треугольника. Поскольку все углы равны, угол B равен 60°. Медиана BM также является высотой для треугольника BMC.

Используя свойства равностороннего треугольника, можно заметить, что длина отрезка MH (высота) равна BM, умноженному на синус угла B, равного 60°:

[ MH = BM \cdot \sin(60^\circ) = 24 \, \text{см} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 12\sqrt{3} \, \text{см} \approx 20.78 \, \text{см}. ]

Таким образом, длина отрезка MH составляет ( 12\sqrt{3} \, \text{см} ).

В треугольнике ABC, где все углы равны, мы имеем равносторонний треугольник. В таком треугольнике все стороны равны, и углы равны 60°.

Медиана BM делит сторону AC на две равные части, поэтому точка M является серединой отрезка AC. Длина медианы в равностороннем треугольнике может быть найдена по формуле:

[ BM = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 - 2b^2} ]

где ( a ) и ( b ) — длины сторон треугольника. Поскольку треугольник равносторонний, ( a = b ), и формула упрощается. Однако, мы можем использовать другую формулу для медианы в равностороннем треугольнике:

[ BM = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a ]

где ( a ) — длина стороны треугольника.

У нас есть длина медианы BM = 24 см. Подставим это значение в формулу:

[ 24 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a ]

Решим это уравнение для ( a ):

[ a = \frac{24 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{48}{\sqrt{3}} = 16\sqrt{3} \, \text{см} ]

Теперь, чтобы найти длину отрезка MH, опустим перпендикуляр из точки M на сторону BC. В равностороннем треугольнике высота также является медианой, и делит сторону на две равные части. Высота h равностороннего треугольника выражается через сторону ( a ) следующим образом:

[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a ]

Подставим ( a = 16\sqrt{3} ):

[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 16\sqrt{3} = \frac{16 \cdot 3}{2} = 24 \, \text{см} ]

Теперь мы можем найти отрезок MH. Так как M — середина AC, а высота из точки B делит BC пополам, мы можем рассмотреть треугольник BMC.

Так как BM — это медиана, а MH — это перпендикуляр на основание (BC), отрезок MH будет равен половине высоты:

[ MH = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, \text{см} ]

Таким образом, длина отрезка MH составляет 12 см.

Давайте разберём задачу и найдём длину отрезка ( MH ). Нам дан треугольник ( \triangle ABC ), где все углы равны. Это означает, что треугольник является равносторонним.

Шаг 1: Свойства равностороннего треугольника

В равностороннем треугольнике:

1. Все стороны равны.
2. Любая медиана также является биссектрисой и высотой.
3. Медиана делит противоположную сторону пополам.

Обозначим сторону треугольника ( AB = BC = CA = a ). Медиана ( BM ), проведённая из вершины ( B ) к стороне ( AC ), делит сторону ( AC ) пополам. То есть, ( AM = MC = \frac{a}{2} ).

Шаг 2: Найдём длину медианы ( BM )

Формула для медианы в равностороннем треугольнике со стороной ( a ) имеет вид: [ BM = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a ] Нам известно, что ( BM = 24 \, \text{см} ). Подставим это значение: [ 24 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a ] Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби: [ 48 = \sqrt{3} \cdot a ] Теперь разделим на ( \sqrt{3} ): [ a = \frac{48}{\sqrt{3}} ] Упростим дробь, домножив числитель и знаменатель на ( \sqrt{3} ): [ a = \frac{48 \cdot \sqrt{3}}{3} = 16 \sqrt{3} \, \text{см} ] Итак, длина стороны треугольника равна ( a = 16\sqrt{3} \, \text{см} ).

Шаг 3: Найдём длину перпендикуляра ( MH )

Перпендикуляр ( MH ), опущенный из точки ( M ) (середины стороны ( AC )) на сторону ( BC ), лежит внутри равностороннего треугольника. Это означает, что ( MH ) — часть общей высоты треугольника, которая также равна медиане.

Высота ( h ) равностороннего треугольника выражается через сторону ( a ) по формуле: [ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a ] Подставим значение ( a = 16\sqrt{3} ): [ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 16\sqrt{3} = \frac{16 \cdot 3}{2} = 24 \, \text{см} ] Итак, высота треугольника равна ( 24 \, \text{см} ).

Теперь заметим, что ( MH ) — это перпендикуляр, проведённый из середины основания (точки ( M )) на противоположную сторону ( BC ). В равностороннем треугольнике этот перпендикуляр равен половине общей высоты, так как точка ( M ) делит высоту на две равные части.

Следовательно: [ MH = \frac{h}{2} = \frac{24}{2} = 12 \, \text{см} ]

Ответ:

Длина отрезка ( MH ) равна ( \mathbf{12 \, \text{см}} ).