В треугольнике ABC угол C равен 90°, что указывает на то, что треугольник является прямоугольным с углом C в 90°. Давайте рассмотрим, как найти тангенс угла A, используя информацию о синусе угла A.
Дано:
- Угол C = 90°
- sinA = (\frac{9 \sqrt{181}}{181})
В прямоугольном треугольнике синус угла A определяется как отношение длины противолежащего катета к длине гипотенузы. Обозначим:
- AB = c (гипотенуза)
- BC = a (катет, противолежащий углу A)
- AC = b (катет, прилежащий углу A)
Таким образом, (\sin A = \frac{a}{c}).
Из условия задачи:
(\sin A = \frac{a}{c} = \frac{9 \sqrt{181}}{181}).
Теперь найдем значение тангенса угла A. Тангенс угла A определяется как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего катета:
[
\tan A = \frac{a}{b}.
]
Для этого нам нужно найти длину катета b. В прямоугольном треугольнике выполняется теорема Пифагора:
[
c^2 = a^2 + b^2.
]
Найдем значение гипотенузы (c):
[
a = 9 \sqrt{181}, \quad c = 181.
]
Подставим эти значения:
[
\left(9 \sqrt{181}\right)^2 + b^2 = 181^2.
]
Рассчитаем (a^2):
[
a^2 = (9 \sqrt{181})^2 = 81 \times 181 = 81 \cdot 181.
]
Теперь подставим это в уравнение:
[
81 \times 181 + b^2 = 181^2.
]
Упростим уравнение:
[
81 \times 181 + b^2 = 181^2,
]
[
b^2 = 181^2 - 81 \times 181,
]
[
b^2 = 181 \times (181 - 81),
]
[
b^2 = 181 \times 100,
]
[
b^2 = 18100.
]
Следовательно,
[
b = \sqrt{18100} = 10 \sqrt{181}.
]
Теперь можем найти тангенс угла A:
[
\tan A = \frac{a}{b} = \frac{9 \sqrt{181}}{10 \sqrt{181}} = \frac{9}{10} = 0.9.
]
Таким образом, (\tan A = 0.9).