В треугольнике ABC угол С равен 90, СН- высота , АС=14 , АН=7. Найдите sinB.
С пояснениями , пожалуйста!
В треугольнике ABC угол С равен 90, СН- высота , АС=14 , АН=7. Найдите sinB.
С пояснениями , пожалуйста!
Для решения задачи нам нужно найти синус угла B в прямоугольном треугольнике (ABC), где угол (C) равен (90^\circ), (CH) – высота, (AC = 14), и (AH = 7).
Определим длину (HC): Поскольку (H) – основание высоты (CH) на гипотенузе (AB), треугольники (ACH) и (CHB) являются прямоугольными. В треугольнике (ACH) мы имеем: [ AC = 14 \quad \text{и} \quad AH = 7 ] (H) делит (AC) на два отрезка: (AH) и (HC). Поскольку (H) находится на гипотенузе, (HC) можно найти как разницу между (AC) и (AH): [ HC = AC - AH = 14 - 7 = 7 ]
Найдем длину (BC): В треугольнике (CHB), (CH) перпендикулярно (AB). Таким образом, (CH) является высотой, и треугольник (CHB) является прямоугольным с катетами (CH) и (HC): [ BC = \sqrt{CH^2 + HC^2} ]
Но сначала нам нужно найти (CH). В треугольнике (ACH) мы знаем два катета (AH) и (HC): [ CH = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{14^2 - 7^2} = \sqrt{196 - 49} = \sqrt{147} = 7\sqrt{3} ]
Теперь найдем (BC): [ BC = \sqrt{CH^2 + HC^2} = \sqrt{(7\sqrt{3})^2 + 7^2} = \sqrt{147 + 49} = \sqrt{196} = 14 ]
Найдем синус угла (B): Синус угла (B) в прямоугольном треугольнике определяется как отношение противолежащего катета ((AC)) к гипотенузе ((BC)): [ \sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{14}{14} = 1 ]
Таким образом, ( \sin B = 1 ).
Для начала обратим внимание на то, что треугольник ABC является прямоугольным, так как угол C равен 90 градусов. Также из условия задачи мы знаем, что СН - высота треугольника, а значит, она перпендикулярна к гипотенузе AB.
Используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, мы можем найти длину гипотенузы AB:
AB^2 = AC^2 + BC^2 AB^2 = 14^2 + 7^2 AB^2 = 196 + 49 AB^2 = 245 AB = √245 AB = 7√5
Теперь, чтобы найти синус угла B, нам нужно использовать определение синуса как отношения противолежащего катета к гипотенузе:
sinB = BC / AB sinB = BC / 7√5
Для того чтобы найти длину катета BC, воспользуемся тем, что треугольник ACN является подобным треугольнику ABC (по признаку углов), так как угол C общий и угол ACN является прямым, а значит, угол BNC также прямой. Тогда отношение длин катетов в этих треугольниках будет равно:
AN / AC = BC / AB 7 / 14 = BC / 7√5 1/2 = BC / 7√5 BC = 7√5 / 2
Теперь можем подставить найденное значение BC в формулу для sinB:
sinB = BC / 7√5 sinB = (7√5 / 2) / 7√5 sinB = 1 / 2
Итак, sinB равен 1/2.
