В треугольнике АВС MN-средняя линия , M Є АВ, N Є ВС найдите координаты точек В и С если А$-1;3$ М$3;4$...

Для решения этой задачи мы используем свойства средней линии треугольника и методы аналитической геометрии.

Шаг 1: Определение координат точек B и C

Точки M и N являются средними точками отрезков AB и BC соответственно. Это означает, что M - это центр отрезка AB, а N - центр отрезка BC. Тогда: $M(x_M,y_M)=(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2})$ $N(x_N,y_N)=(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2})$

Подставляем известные значения: $(3,4)=(\frac{-1+x_B}{2},\frac{3+y_B}{2})$ $(4,2)=(\frac{x_B+x_C}{2},\frac{y_B+y_C}{2})$

Из первого уравнения получаем: $3=\frac{-1+x_B}{2}\to -1+x_B=6\to x_B=7$ $4=\frac{3+y_B}{2}\to 3+y_B=8\to y_B=5$

Таким образом, координаты точки B: B$7,5$.

Для определения координат C решим второе уравнение: $4=\frac{7+x_C}{2}\to 7+x_C=8\to x_C=1$ $2=\frac{5+y_C}{2}\to 5+y_C=4\to y_C=-1$

Таким образом, координаты точки C: C$1,-1$.

Шаг 2: Определение длин медиан AN и CM

Медиана делит сторону треугольника на две равные части в точке, где она встречается со стороной. Медиана AN соединяет A с серединой BC, а CM - C с серединой AB. Середины сторон уже известны как N и M соответственно.

Длина медианы вычисляется по формуле: $\text{длина}=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$

Для AN: $\text{длина AN}=\sqrt{(4-(-1){)}^2+(2-3{)}^2}=\sqrt{5^2+(-1{)}^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$

Для CM: $\text{длина CM}=\sqrt{(3-1{)}^2+(4-(-1){)}^2}=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$

Итак, длина медианы AN равна $\sqrt{26}$, а длина медианы CM равна $\sqrt{29}$.

Для нахождения координат точек B и C воспользуемся свойством медианы треугольника, которое гласит, что медиана делит сторону треугольника пополам.

Найдем координаты точки B: Сначала найдем координаты точки M, которая является серединой стороны AC. Для этого используем формулу середины отрезка: xM = $xA+xC$ / 2 yM = $yA+yC$ / 2 Подставляем координаты точек A и C: xM = $-1+xC$ / 2 3 = $-1+yC$ / 2 Отсюда получаем, что xC = 7, yC = 1. Таким образом, координаты точки B равны $7;1$.

Аналогично найдем координаты точки C: Сначала найдем координаты точки N, которая является серединой стороны BC. Для этого используем формулу середины отрезка: xN = $xB+xC$ / 2 yN = $yB+yC$ / 2 Подставляем координаты точек B и C: 4 = $7+xC$ / 2 2 = $1+yC$ / 2 Отсюда получаем, что xC = 10, yC = -1. Таким образом, координаты точки C равны $10;-1$.

Теперь найдем длины медиан AN и CM. Для этого воспользуемся формулой длины отрезка по координатам: Длина AB = √$(xB-xA$^2 + $yB-yA$^2) Подставляем координаты точек A и B: Длина AN = √$(7-(-1$)^2 + $1-3$^2) = √$(8$^2 + $-2$^2) = √$64+4$ = √68.

Аналогично для длины CM: Длина CM = √$(xC-xM$^2 + $yC-yM$^2) Подставляем координаты точек C и M: Длина CM = √$(10-3$^2 + $-1-4$^2) = √$(7$^2 + $-5$^2) = √$49+25$ = √74.

Таким образом, длина медианы AN равна √68, а длина медианы CM равна √74.