В треугольнике АВС MN-средняя линия , M Є АВ, N Є ВС найдите координаты точек В и С если А(-1;3) М(3;4)...

Для решения этой задачи мы используем свойства средней линии треугольника и методы аналитической геометрии.

Шаг 1: Определение координат точек B и C

Точки M и N являются средними точками отрезков AB и BC соответственно. Это означает, что M - это центр отрезка AB, а N - центр отрезка BC. Тогда: [ M(x_M, y_M) = \left(\frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}\right) ] [ N(x_N, y_N) = \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) ]

Подставляем известные значения: [ (3, 4) = \left(\frac{-1 + x_B}{2}, \frac{3 + y_B}{2}\right) ] [ (4, 2) = \left(\frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2}\right) ]

Из первого уравнения получаем: [ 3 = \frac{-1 + x_B}{2} \rightarrow -1 + x_B = 6 \rightarrow x_B = 7 ] [ 4 = \frac{3 + y_B}{2} \rightarrow 3 + y_B = 8 \rightarrow y_B = 5 ]

Таким образом, координаты точки B: B(7, 5).

Для определения координат C решим второе уравнение: [ 4 = \frac{7 + x_C}{2} \rightarrow 7 + x_C = 8 \rightarrow x_C = 1 ] [ 2 = \frac{5 + y_C}{2} \rightarrow 5 + y_C = 4 \rightarrow y_C = -1 ]

Таким образом, координаты точки C: C(1, -1).

Шаг 2: Определение длин медиан AN и CM

Медиана делит сторону треугольника на две равные части в точке, где она встречается со стороной. Медиана AN соединяет A с серединой BC, а CM - C с серединой AB. Середины сторон уже известны как N и M соответственно.

Длина медианы вычисляется по формуле: [ \text{длина} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]

Для AN: [ \text{длина AN} = \sqrt{(4 - (-1))^2 + (2 - 3)^2} = \sqrt{5^2 + (-1)^2} = \sqrt{25 + 1} = \sqrt{26} ]

Для CM: [ \text{длина CM} = \sqrt{(3 - 1)^2 + (4 - (-1))^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} ]

Итак, длина медианы AN равна (\sqrt{26}), а длина медианы CM равна (\sqrt{29}).

Для нахождения координат точек B и C воспользуемся свойством медианы треугольника, которое гласит, что медиана делит сторону треугольника пополам.

Найдем координаты точки B: Сначала найдем координаты точки M, которая является серединой стороны AC. Для этого используем формулу середины отрезка: xM = (xA + xC) / 2 yM = (yA + yC) / 2 Подставляем координаты точек A и C: xM = (-1 + xC) / 2 3 = (-1 + yC) / 2 Отсюда получаем, что xC = 7, yC = 1. Таким образом, координаты точки B равны (7;1).

Аналогично найдем координаты точки C: Сначала найдем координаты точки N, которая является серединой стороны BC. Для этого используем формулу середины отрезка: xN = (xB + xC) / 2 yN = (yB + yC) / 2 Подставляем координаты точек B и C: 4 = (7 + xC) / 2 2 = (1 + yC) / 2 Отсюда получаем, что xC = 10, yC = -1. Таким образом, координаты точки C равны (10;-1).

Теперь найдем длины медиан AN и CM. Для этого воспользуемся формулой длины отрезка по координатам: Длина AB = √((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2) Подставляем координаты точек A и B: Длина AN = √((7 - (-1))^2 + (1 - 3)^2) = √((8)^2 + (-2)^2) = √(64 + 4) = √68.

Аналогично для длины CM: Длина CM = √((xC - xM)^2 + (yC - yM)^2) Подставляем координаты точек C и M: Длина CM = √((10 - 3)^2 + (-1 - 4)^2) = √((7)^2 + (-5)^2) = √(49 + 25) = √74.

Таким образом, длина медианы AN равна √68, а длина медианы CM равна √74.