В треугольнике АВС О-точка пересечения медиан Выразите вектор АО через вектор а=АВ и b=АС

В треугольнике (ABC) медианы пересекаются в одной точке (O), которая также называется центроидом треугольника. Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Давайте найдем вектор (\mathbf{AO}) через вектора (\mathbf{a} = \overrightarrow{AB}) и (\mathbf{b} = \overrightarrow{AC}).

1. Определение медиан и координат точек на медианах:

   Пусть (M) — середина отрезка (BC). Тогда вектор (\overrightarrow{AM}) можно выразить как среднее арифметическое векторов (\overrightarrow{AB}) и (\overrightarrow{AC}): [ \mathbf{AM} = \frac{1}{2} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) ]

2. Выражение вектора (\mathbf{AO}):

   Центроид (O) делит медиану (AM) в отношении 2:1, считая от вершины (A). Поэтому вектор (\mathbf{AO}) равен (\frac{2}{3}) от длины вектора (\mathbf{AM}): [ \mathbf{AO} = \frac{2}{3} \mathbf{AM} ]

   Подставим выражение для (\mathbf{AM}): [ \mathbf{AO} = \frac{2}{3} \left( \frac{1}{2} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) \right) ]

3. Упрощение выражения:

   Упростим выражение: [ \mathbf{AO} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \frac{2}{6} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) = \frac{1}{3} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) ]

Таким образом, вектор (\mathbf{AO}) можно выразить через вектора (\mathbf{a} = \overrightarrow{AB}) и (\mathbf{b} = \overrightarrow{AC}) следующим образом: [ \mathbf{AO} = \frac{1}{3} (\mathbf{a} + \mathbf{b}) ]

Это показывает связь между вектором, соединяющим вершину треугольника с его центроидом, и векторами, задающими стороны треугольника.

Вектор АО можно выразить как (2/3)а + (1/3)b.

Для того чтобы выразить вектор АО через вектора a=АВ и b=АС, можно воспользоваться свойствами медиан треугольника.

Медиана треугольника делит сторону на две части в отношении 1:2, поэтому вектор AO равен двум третьим вектора медианы, проведенной из вершины А.

Таким образом, вектор AO = (2/3) * вектор AA', где A' - середина стороны BC.

Поскольку вектор AA' = (вектор AB + вектор AC) / 2, подставляем это выражение и получаем:

Вектор AO = (2/3) ((вектор AB + вектор AC) / 2) = (1/3) вектор AB + (1/3) * вектор AC

Таким образом, вектор АО можно выразить через вектора a=АВ и b=АС следующим образом:

Вектор АО = (1/3) вектор a + (1/3) вектор b