В треугольнике авс сторона AB=6 угол C=60 угол B=45 найдите сторону AC

Для решения задачи начнем с известной информации: у нас есть треугольник ABC, где ( AB = 6 ), угол ( C = 60^\circ ) и угол ( B = 45^\circ ). Нам нужно найти сторону ( AC ).

1. Находим угол A: Углы треугольника в сумме равны ( 180^\circ ). Используя известные углы ( B ) и ( C ), можем найти угол ( A ): [ A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ. ]

2. Используем закон синусов: Закон синусов гласит, что отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно константе для всех сторон: [ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}, ] где ( a = BC ), ( b = AC ) и ( c = AB ).

   В нашем случае:

   • ( c = AB = 6 )
   • ( A = 75^\circ )
   • ( B = 45^\circ )
   • ( C = 60^\circ )

   Подставляем известные значения в закон синусов: [ \frac{AC}{\sin 75^\circ} = \frac{6}{\sin 60^\circ}. ]

3. Находим синусы углов:

   • ( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} )
   • ( \sin 75^\circ = \sin(45^\circ + 30^\circ) = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} )

4. Подставляем в уравнение: [ \frac{AC}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}. ] Упрощаем правую сторону: [ \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}. ]

   Теперь равенство принимает вид: [ \frac{AC}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = 4\sqrt{3}. ]

5. Решаем уравнение для AC: Умножаем обе стороны на ( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} ): [ AC = 4\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}. ] Упрощаем: [ AC = \sqrt{3} (\sqrt{6} + \sqrt{2}) = \sqrt{18} + \sqrt{6} = 3\sqrt{2} + \sqrt{6}. ]

Таким образом, сторона ( AC ) в треугольнике ABC равна ( 3\sqrt{2} + \sqrt{6} ).

Для нахождения стороны AC в треугольнике ABC можно использовать теорему косинусов. Однако в данном случае проще воспользоваться формулой для нахождения стороны через угол и известные стороны.

Сначала найдем сторону AC (обозначим её a) через сторону AB и угол C:

1. Применяем закон синусов: [ \frac{a}{\sin B} = \frac{AB}{\sin C} ] где угол B = 45° и угол C = 60°.

2. Зная, что AB = 6, подставляем значения: [ \frac{a}{\sin 45^\circ} = \frac{6}{\sin 60^\circ} ]

3. Значения синусов: (\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}) и (\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}).

4. Подставляем: [ \frac{a}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} ]

5. Упрощаем: [ a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} ]

6. Решаем уравнение: [ a \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{2} ] [ a = \frac{6\sqrt{2}}{\sqrt{3}} ] [ a = 2\sqrt{6} ]

Таким образом, сторона AC равна (2\sqrt{6}).

Давайте решим задачу, используя свойства треугольников и тригонометрию.

Дано:

• Треугольник ( \triangle ABC ),
• ( AB = 6 ),
• ( \angle C = 60^\circ ),
• ( \angle B = 45^\circ ).

Нужно найти сторону ( AC ).

Шаг 1. Найдём угол ( \angle A )

Сумма углов в треугольнике равна ( 180^\circ ). Поэтому: [ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 45^\circ - 60^\circ = 75^\circ. ]

Теперь мы знаем все углы треугольника:

• ( \angle A = 75^\circ ),
• ( \angle B = 45^\circ ),
• ( \angle C = 60^\circ ).

Шаг 2. Применим теорему синусов

Теорема синусов гласит: [ \frac{AB}{\sin \angle C} = \frac{BC}{\sin \angle A} = \frac{AC}{\sin \angle B}. ]

Подставим известные значения: [ \frac{AB}{\sin 60^\circ} = \frac{AC}{\sin 45^\circ}. ]

Подставим значения:

• ( AB = 6 ),
• ( \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} ),
• ( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ).

Получим уравнение: [ \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}. ]

Упростим дроби: [ \frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 6 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}}. ]

Итак, уравнение становится: [ \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{AC}{\frac{\sqrt{2}}{2}}. ]

Умножим обе стороны на ( \frac{\sqrt{2}}{2} ): [ AC = \frac{12}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}. ]

Шаг 3. Упростим выражение

Перемножим дроби: [ AC = \frac{12 \sqrt{2}}{2 \sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{2}}{\sqrt{3}}. ]

Уберём иррациональность из знаменателя, домножив числитель и знаменатель на ( \sqrt{3} ): [ AC = \frac{6 \sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{6}}{3}. ]

Упростим дробь: [ AC = 2 \sqrt{6}. ]

Ответ:

Длина стороны ( AC ) равна ( 2 \sqrt{6} ).