В треугольнике АВС ,угол А= 45°,что на 60° меньше велечины угла С ,ВС =3√2см.Найдите сторону АС

Для нахождения стороны AC воспользуемся теоремой синусов: AC = BC * sin(A) / sin(C), где BC = 3√2 см, A = 45° и C = 105° (угол C = 180° - 45° - 30°).

AC = 3√2 sin(45°) / sin(105°) ≈ 3√2 0.7071 / 0.9781 ≈ 2.121 см.

Итак, сторона AC треугольника ABC равна примерно 2.121 см.

Давайте рассмотрим треугольник ( \triangle ABC ) с углами и сторонами, указанными в задаче.

1. Определение углов:

   • Угол ( A ) равен ( 45^\circ ).
   • Угол ( C ) на ( 60^\circ ) больше угла ( A ), значит ( C = 45^\circ + 60^\circ = 105^\circ ).
   • Сумма углов в треугольнике всегда равна ( 180^\circ ), следовательно, угол ( B ) можем найти как: [ B = 180^\circ - A - C = 180^\circ - 45^\circ - 105^\circ = 30^\circ ]

2. Используем теорему синусов: Теорема синусов для треугольника гласит: [ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} ] где ( a, b, c ) — стороны треугольника, а ( A, B, C ) — противоположные им углы.

   В данном случае, нам известна сторона ( BC = 3\sqrt{2} ) и углы ( A = 45^\circ ), ( B = 30^\circ ), ( C = 105^\circ ). Обозначим сторону ( AC ) как ( b ).

3. Запишем соотношения для сторон и углов: Для стороны ( AC ) (которая обозначена как ( b )): [ \frac{b}{\sin B} = \frac{BC}{\sin A} ] Подставим известные значения: [ \frac{b}{\sin 30^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin 45^\circ} ]

4. Подставим значения синусов: [ \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \quad \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ] Тогда уравнение примет вид: [ \frac{b}{\frac{1}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} ]

5. Упростим уравнение: [ 2b = \frac{3\sqrt{2} \cdot 2}{\sqrt{2}} = 6 ] Разделим обе стороны на 2: [ b = 3 ]

Таким образом, длина стороны ( AC ) равна ( 3 ) см.

Для начала найдем значение угла С. Так как угол А = 45°, то угол С = 45° + 60° = 105°.

Затем воспользуемся законом косинусов для нахождения стороны АС: AC² = AB² + BC² - 2 AB BC * cos(C)

AC² = AB² + (3√2)² - 2 AB 3√2 * cos(105°)

AC² = AB² + 18 - 6√2 AB cos(105°)

AC² = AB² + 18 - 6√2 AB (-0,259)

AC² = AB² + 18 + 1,556AB

Теперь воспользуемся теоремой косинусов для нахождения стороны AB: AB² = AC² + BC² - 2 AC BC * cos(B)

AB² = (AC)² + (3√2)² - 2 AC 3√2 * cos(45°)

AB² = (AC)² + 18 - 6√2 AC cos(45°)

AB² = (AC)² + 18 - 6√2 AC 0,707

AB² = (AC)² + 18 - 4,242AC

Теперь можно подставить значение AB² из последнего уравнения в предыдущее уравнение и решить получившееся квадратное уравнение относительно AC. Полученное значение будет стороной AC треугольника.