.В треугольнике АВС высоты АК и ВЕ пересекаются в точке О, угол САВ=42 градуса. Найти угол АВЕ.

Для нахождения угла АВЕ воспользуемся свойством треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Учитывая, что угол САВ = 42 градуса, угол ВАК = 90 градусов (так как высота АК - это высота треугольника АВС), а также учитывая, что угол ВЕК = 90 градусов (так как высота ВЕ - это высота треугольника АВС), мы можем найти угол АВЕ.

Таким образом, угол АВЕ = 180 - 42 - 90 - 90 = 180 - 222 = -42 градуса.

Итак, угол АВЕ равен -42 градуса.

Для решения этой задачи будем использовать свойства высот и углов треугольника. Давайте детально разберём шаги:

1. Рассмотрим треугольник ( \triangle ABC ), в котором высоты ( AK ) и ( BE ) пересекаются в точке ( O ). Высоты делят треугольник на четыре меньших треугольника, и точка пересечения высот ( O ) называется ортоцентром треугольника.

2. Согласно условию, угол ( \angle CAB = 42^\circ ).

3. Поскольку ( AK ) и ( BE ) являются высотами, они перпендикулярны сторонам ( BC ) и ( AC ) соответственно. Это значит, что углы ( \angle BAK = 90^\circ ) и ( \angle ABE = 90^\circ ).

4. Нам нужно найти угол ( \angle ABE ). Заметим, что ( \angle ABE ) находится внутри треугольника ( \triangle ABE ).

5. Рассмотрим треугольник ( \triangle ABE ):

   • Угол ( \angle ABE ) является внутренним углом при вершине ( B ).
   • Угол ( \angle BAE ), который является частью угла ( \angle CAB ), равен ( 42^\circ ).

6. Углы треугольника ( \triangle ABE ) такие:

   • ( \angle BAE = 42^\circ )
   • ( \angle AEB = 90^\circ )
   • ( \angle ABE ) — искомый угол.

7. В треугольнике сумма углов равна ( 180^\circ ). Таким образом, мы можем записать следующее уравнение для углов треугольника ( \triangle ABE ): [ \angle BAE + \angle AEB + \angle ABE = 180^\circ ] Подставляем известные значения: [ 42^\circ + 90^\circ + \angle ABE = 180^\circ ]

8. Выразим ( \angle ABE ): [ \angle ABE = 180^\circ - 42^\circ - 90^\circ ] [ \angle ABE = 48^\circ ]

Таким образом, угол ( \angle ABE ) равен ( 48^\circ ).