.В треугольнике АВС высоты АК и ВЕ пересекаются в точке О, угол САВ=42 градуса. Найти угол АВЕ.

Для нахождения угла АВЕ воспользуемся свойством треугольника: сумма углов треугольника равна 180 градусам.

Учитывая, что угол САВ = 42 градуса, угол ВАК = 90 градусов $таккаквысотаАК-этовысотатреугольникаАВС$, а также учитывая, что угол ВЕК = 90 градусов $таккаквысотаВЕ-этовысотатреугольникаАВС$, мы можем найти угол АВЕ.

Таким образом, угол АВЕ = 180 - 42 - 90 - 90 = 180 - 222 = -42 градуса.

Итак, угол АВЕ равен -42 градуса.

Для решения этой задачи будем использовать свойства высот и углов треугольника. Давайте детально разберём шаги:

1. Рассмотрим треугольник $\mathrm{△}ABC$, в котором высоты $AK$ и $BE$ пересекаются в точке $O$. Высоты делят треугольник на четыре меньших треугольника, и точка пересечения высот $O$ называется ортоцентром треугольника.

2. Согласно условию, угол $\mathrm{\angle }CAB={42}^{\circ }$.

3. Поскольку $AK$ и $BE$ являются высотами, они перпендикулярны сторонам $BC$ и $AC$ соответственно. Это значит, что углы $\mathrm{\angle }BAK={90}^{\circ }$ и $\mathrm{\angle }ABE={90}^{\circ }$.

4. Нам нужно найти угол $\mathrm{\angle }ABE$. Заметим, что $\mathrm{\angle }ABE$ находится внутри треугольника $\mathrm{△}ABE$.

5. Рассмотрим треугольник $\mathrm{△}ABE$:

   • Угол $\mathrm{\angle }ABE$ является внутренним углом при вершине $B$.
   • Угол $\mathrm{\angle }BAE$, который является частью угла $\mathrm{\angle }CAB$, равен ${42}^{\circ }$.

6. Углы треугольника $\mathrm{△}ABE$ такие:

   • $\mathrm{\angle }BAE={42}^{\circ }$
   • $\mathrm{\angle }AEB={90}^{\circ }$
   • $\mathrm{\angle }ABE$ — искомый угол.

7. В треугольнике сумма углов равна ${180}^{\circ }$. Таким образом, мы можем записать следующее уравнение для углов треугольника $\mathrm{△}ABE$: $\mathrm{\angle }BAE+\mathrm{\angle }AEB+\mathrm{\angle }ABE={180}^{\circ }$ Подставляем известные значения: ${42}^{\circ }+{90}^{\circ }+\mathrm{\angle }ABE={180}^{\circ }$

8. Выразим $\mathrm{\angle }ABE$: $\mathrm{\angle }ABE={180}^{\circ }-{42}^{\circ }-{90}^{\circ }$ $\mathrm{\angle }ABE={48}^{\circ }$

Таким образом, угол $\mathrm{\angle }ABE$ равен ${48}^{\circ }$.