В треугольнике CDE точка М лежит на стороне СЕ, причем угол CMD острый. Докажите, DE болеше DM

Для доказательства того, что DE больше DM, можно использовать несколько подходов, в том числе использование свойств углов и сторон в треугольнике. Рассмотрим один из возможных вариантов решения.

1. Рассмотрение треугольников CMD и CED: Поскольку точка M лежит на стороне CE и угол CMD острый, можно рассмотреть треугольники CMD и CED. Треугольник CED является большим, а CMD — его частью.

2. Использование неравенства треугольника: В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других сторон. Применительно к треугольнику CED, сторона DE меньше суммы сторон DC и CE. Поскольку M лежит на CE, CM < CE и, следовательно, DM < DE (по неравенству треугольника для треугольника CMD, где DE заменяет CE как более длинная сторона по сравнению с DM).

3. Рассмотрение углов: Угол CMD острый, и это имеет важное значение. Угол CMD является частью угла CED. В треугольнике CMD угол MCD является внешним углом для треугольника CED, и в силу свойств внешних углов он больше любого из несмежных внутренних углов треугольника CED. Это подразумевает, что треугольник CMD "расположен" таким образом, что DM должно быть меньше DE.

4. Использование закона косинусов: Если использовать закон косинусов для расчета длин сторон на основе углов, можно выяснить, что DE^2 = DC^2 + CE^2 - 2DCCEcos(∠DCE), а DM^2 = DC^2 + CM^2 - 2DCCMcos(∠DCM). Поскольку CM < CE и cos(∠DCM) > cos(∠DCE) из-за остроты угла CMD и его расположения, DM будет меньше DE.

Таким образом, через рассмотрение геометрических свойств и неравенств треугольников можно убедительно доказать, что в данной ситуации сторона DE действительно больше стороны DM.

Для доказательства того, что DE > DM воспользуемся теоремой о неравенстве треугольника.

Пусть CD = a, CE = b, DE = c, DM = x, ME = y.

Так как точка М лежит на стороне СЕ, то мы можем представить CE как сумму DM и ME: b = x + y.

Также заметим, что треугольник CDM и треугольник CEM - подобные, так как у них углы CMD и CME равны по построению.

Из подобия треугольников мы можем написать, что CD/CM = CE/ME, что соответственно равно a/(a - x) = b/y.

Теперь подставим значение b = x + y в уравнение: a/(a - x) = (x + y)/y.

Раскроем скобки и приведем подобные: ay = a(x + y) - xy.

Рассмотрим выражение a(x + y) - xy. Поскольку x + y = b, то a(x + y) - xy = ab - xy = c - xy = DE - ME.

Таким образом, мы получаем уравнение ay = c - xy.

Из данного уравнения видно, что c - xy больше нуля, так как стороны треугольника неотрицательны. Следовательно, ay больше нуля, что означает, что DE больше DM.

Таким образом, мы доказали, что в треугольнике CDE сторона DE больше стороны DM.